Question

如图1，矩形铁片ABCD的长为2a，宽为a； 为了要让铁片能穿过直径为

89

10

a的圆孔，需对铁片进行处理（规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔）；
（1）如图2，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，若将矩形铁片的四个角去掉，只余下四边形MNPQ，则此时铁片的形状是

 

，给出证明，并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；
（2）如图3，过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F（不与端点重合），沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片；
①当BE=DF=

1

5

a时，判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔，并说明理由；
②为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔，请直接写出线段BE的长度的取值范围

 

．

Answer 1

分析：（1）利用四条边相等的四边形为矩形来判定四边形为菱形，然后利用面积相等来求得菱形一边的高，与已知数据比较后判断是否能通过．
（2）利用两三角形相似得到比例线段，进而求出点A到EF的距离，然后与已知线段比较，从而判定能否通过．

解答：解：（1）是菱形，
如图，过点M作MG⊥NP于点G，
∵M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ，
∴MN=NP=PQ=QM，
∴四边形MNPQ是菱形，
∵SMNPQ=

1

2

SABCD=

1

2

×2a×a=a2，
MN=

( 1 2 a)2+a2

=

5

2

a，
∴MG=

SMNPQ

MN

=

2

5

5

a＜

89

10

a，
∴此时铁片能穿过圆孔；

（2）①如图，过点A作AH⊥EF于点H，过点E作EK⊥AD于点K，
显然AB=a＞

89

10

a，
故沿着与AB垂直的方向无法穿过圆孔，
过点A作EF的平行线RS，故只需计算直线RS与EF之间的距离即可，
∵BE=AK=

1

5

a，EK=AB=a，AF=AD-DF=

9

5

a，
∴KF=AF-AK=

8

5

a，EF=

a2+( 8 5 a)2

=

89

5

a，
∵∠AHF=∠EKF=90°，∠AFH=∠EFK，
∴△AHF∽△EKF，
∴

AH

EK

=

AF

EF

，可得AH=

9 89

89

a＞

89

10

a，
∴该直角梯形铁片不能穿过圆孔；
②0＜BE＜

39-3 89

64

a或

39+3 89

64

a＜BE＜2a．

点评：本题考查了菱形的判定及性质、直线与圆的位置关系及相似三角形的性质及判定，是一道不错的几何综合题．