题目内容
【题目】如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（6，0），B（0，12），点C的坐标为（3，0）
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一动点P．
①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，若矩形OEPF的面积为16，求点P的坐标．
②连结CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣2x+12；（2）①点P（2，8）或（4，4）；②存在，点P的坐标为（3，6）或点P（
，
）
【解析】
试题（1）由于A（6，0），B（0，12），利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（2）①可以设动点P（x，﹣2x+12），由此得到PE=x，PF=﹣2x+12，再利用矩形OEPF的面积为16即可求出点P的坐标；
②存在，分两种情况：第一种由CP∥OB得△ACP∽△AOB，由此即可求出P的坐标；第二种CP⊥AB，根据已知条件可以证明APC∽△AOB，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出PA，再过点P作PH⊥x轴，垂足为H，由此得到PH∥OB，进一步得到△APH∽△ABO，然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P的坐标．
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，如图1：
依题意，
，
∴
，
∴y=﹣2x+12；
（2）①设动点P （x，﹣2x+12），则PE=x，PF=﹣2x+12，
∴SOEPF=PEPF=x（﹣2x+12）=16，
∴x1=2，x2=4；
经检验x1=2，x2=4都符合题意，
∴点P（2，8）或（4，4）；
②存在，分两种情况
∵A（6，0），B（0，12），
∴OA=6，OB=12，AB=6
第一种：CP∥OB，
∴△ACP∽△AOB，
而点C的坐标为（3，0），
∴点P（3，6）；
第二种CP⊥AB，
∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，
∴△APC∽△AOB，
∴
，
∴
，
∴AP=
，
如图2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
∴PH∥OB，
∴△APH∽△ABO，
∴
，
∴
，
∴PH=
，AH=
，
∴OH=OA﹣AH=6﹣=
，
∴点P（，
）．
∴点P的坐标为（3，6）或点P（
，）．
