Question

【题目】如图，直线AB分别与两坐标轴交于点A（6，0），B（0，12），点C的坐标为（3，0）

（1）求直线AB的解析式；

（2）在线段AB上有一动点P．

①过点P分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点E，F，若矩形OEPF的面积为16，求点P的坐标．

②连结CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x+12；（2）①点P（2，8）或（4，4）；②存在，点P的坐标为（3，6）或点P（，）

【解析】

试题（1）由于A（6，0），B（0，12），利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；

（2）①可以设动点P（x，﹣2x+12），由此得到PE=x，PF=﹣2x+12，再利用矩形OEPF的面积为16即可求出点P的坐标；

②存在，分两种情况：第一种由CP∥OB得△ACP∽△AOB，由此即可求出P的坐标；第二种CP⊥AB，根据已知条件可以证明APC∽△AOB，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出PA，再过点P作PH⊥x轴，垂足为H，由此得到PH∥OB，进一步得到△APH∽△ABO，然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P的坐标．

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，如图1：

依题意，，

∴，

∴y=﹣2x+12；

（2）①设动点P （x，﹣2x+12），则PE=x，PF=﹣2x+12，

∴SOEPF=PEPF=x（﹣2x+12）=16，

∴x1=2，x2=4；

经检验x1=2，x2=4都符合题意，

∴点P（2，8）或（4，4）；

②存在，分两种情况

∵A（6，0），B（0，12），

∴OA=6，OB=12，AB=6

第一种：CP∥OB，

∴△ACP∽△AOB，

而点C的坐标为（3，0），

∴点P（3，6）；

第二种CP⊥AB，

∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，

∴△APC∽△AOB，

∴，

∴，

∴AP=，

如图2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，

∴PH∥OB，

∴△APH∽△ABO，

∴，

∴，

∴PH=，AH=，

∴OH=OA﹣AH=6﹣=，

∴点P（，）．

∴点P的坐标为（3，6）或点P（，）．