Question

如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD与Q，PQ=4，PE=1．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求证：∠BPQ=60°；
（3）求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠CAB=∠ABC=60°，AB=AC，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．

（2）证明：∵△ABE≌△CAD，
∴∠DAC=∠ABE，
∵∠BAC=60°，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠DAC+∠BAP=∠BAC=60°．

（3）解：∵△ABE≌△CAD，
∴AD=BE，
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∵∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=2×4=8，
∵PE=1，
∴AD=BE=8+1=9．
分析：（1）根据等边三角形性质得出∠C=∠CAB=∠ABC=60°，AB=AC，根据SAS证△ABE≌△CAD即可；
（2）求出∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠DAC+∠BAP=∠BAC，代入求出即可；
（3）求出∠PBQ=30°，求出BP=PQ=8，求出BE，即可得出AD的长．
点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，含30度角的直角三角形的性质等知识点的应用．