题目内容
已知抛物线y＝x2＋(2n－1)x＋n2－1(n为常数)．
(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；
(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C．
①当BC＝1时，求矩形ABCD的周长；
②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由．
解析：
|
(1)由已知条件，得n2－1＝0………………………………1分 解这个方程，得n1＝1，n2＝－1…………………2分 当n＝1时，得y＝x2＋x，此抛物线的顶点不在第四象限． 当n＝－1时，得y＝x2－3x，此抛物线的顶点在第四象限．………………4分 ∴所求的函数关系为y＝x2－3x．………………5分 (2)由y＝x2－3x，令y＝0，得x2－3x＝0，解得x1＝0，x2＝3 ∴抛物线与x轴的另一个交点为(3，0) ∴它的顶点为( ①∵BC＝1，由抛物线和矩形的对称性易知OB＝ ∴B(1，0)……7分 ∴点A的横坐标x＝1，又点A在抛物线y＝x2－3x上， ∴点A的纵坐标y＝12－3×1＝－2． ∴AB＝|y|＝|－2|＝2．……8分 ∴矩形ABCD的周长为：2(AB＋BC)＝2×(2＋1)＝6．…………9分 ②∵点A在抛物线y＝x2－3x上，故可设A点的坐标为(x，x2－3x)，…………10分 ∴B点的坐标为(x，0)．(0＜x＜ ∴BC＝3－2x，A在x轴下方， ∴x2－3x＜0， ∴AB＝|x2－3x|＝3x－x2…………11分 ∴矩形ABCD的周长 P＝2[(3x－x2)＋(3－2x)]＝－2(x－ ∵a＝－2＜0， ∴当x＝ 此时点A的坐标为A( |
，
)，对称轴为直线x＝
，其大致位置如图所示，………………6分
×(3－1)＝1．
)
)2＋
…12分
时，矩形ABCD的周长P最大值为
．………………13分
，
)．………………14分
快乐小博士巩固与提高系列答案
x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝
x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．
x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝
x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．