题目内容
【题目】如图,菱形ABCD中,已知∠BAD=120°,∠EGF=60°, ∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动,角的两边分别交边BC、CD于E、F.
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(1)如图甲,当顶点G运动到与点A重合时,求证:EC+CF=BC;
(2)知识探究:
①如图乙,当顶点G运动到AC的中点时,请直接写出线段EC、CF与BC的数量关系(不需要写出证明过程);
②如图丙,在顶点G运动的过程中,若,探究线段EC、CF与BC的数量关系;
(3)问题解决:如图丙,已知菱形的边长为8,BG=7,CF=,当
>2时,求EC的长度。
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【答案】(1)证明见解析(2)①线段EC,CF与BC的数量关系为:CE+CF=BC.②CE+CF=
BC(3)
【解析】分析:(1)利用包含60°角的菱形,证明△BAE≌△CAF,可求证.(2)由特殊到一般,证明△CAE′∽△CAE,从而可以得到EC、CF与BC的数量关系.(3) 连接BD与AC交于点H,利用三角函数BH ,AH,CH的长度,最后求BC长度.
详解:
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,
∴∠BAC=60°,∠B=∠ACF=60°,AB=BC,AB=AC,
∵∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAF=60°,
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∴∠BAE=∠CAF,
在△BAE和△CAF中,
,
∴△BAE≌△CAF,
∴BE=CF,
∴EC+CF=EC+BE=BC,
即EC+CF=BC;
(2)知识探究:
①线段EC,CF与BC的数量关系为:CE+CF=BC.
②CE+CF=BC.
理由如下:
过点A作AE′∥EG,AF′∥GF,分别交BC、CD于E′、F′.
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类比(1)可得:E′C+CF′=BC,
∵AE′∥EG,∴△CAE′∽△CAE,
∴,∴CE=
CE′,
同理可得:CF=CF′,
∴CE+CF=CE′+
CF′=
(CE′+CF′)=
BC,
即CE+CF=BC;
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(3)连接BD与AC交于点H,如图所示:
在Rt△ABH中,∵AB=8,∠BAC=60°,
∴BH=ABsin60°=8×=
,
AH=CH=ABcos60°=8×=4,
∴GH==
=1,
∴CG=4-1=3,
∴,
∴t=(t>2),
由(2)②得:CE+CF=BC,
∴CE=BC -CF=
×8-
=
.
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