题目内容
【题目】如图1,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A和C分别在x轴和y轴正半轴上,点B坐标为(3,3),抛物线y=﹣x2+bx+c过点A、C,交x轴负半轴于点D,与BC边的另一个交点为E,抛物线的顶点为M,对称轴交x轴于点N.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)点P在直线MN上,求当PE+PA的值最小时点P的坐标;
(3)如图2,探索在x轴是否存在一点F,使∠CFO=∠CDO﹣∠CAO?若存在,求点F的坐标;不存在,说明理由;
(4)将抛物线沿y轴方向平移m个单位后,顶点为Q,若QO平分∠CQN,求点Q的坐标.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)P(1,2)(3)F(6,0),(-6,0);(4)Q(1, ),(1, )
【解析】试题分析:(1)由已知条件易得点A和点C的坐标,再利用待定系数法即可求得函数的解析式;(2)AC与对称轴的交点就是P,利用待定系数法求得AC的解析式,即可求得点P的坐标;(3)在y轴的正半轴上截取OH=OD=1,则H的坐标是(0,1),延长DH交AC于点G,则DG⊥AC,∠CDH=∠CDO﹣∠CAO,当F在x轴的负半轴上时,当∠CFO=∠CDH=∠CDO﹣∠CAO时,则△CFO∽△CDG,根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OF的长,则F的坐标即可求得,然后根据对称性求得F在x轴的正半轴时的坐标;
(4)当抛物线沿y轴的正半轴移动时,Q的横坐标是1,QO平分∠CQN,则CQ=OC,利用勾股定理即可求得Q的纵坐标;同理求得抛物线沿y轴的负半轴移动时Q的坐标.
试题解析: 解:(1)∵四边形OABC是正方形,B的坐标是(3,3),
∴A的坐标是(3,0),C的坐标是(0,3).
根据题意得,
解得:,
则二次函数的解析式是y=﹣x2+2x+3;
(2)设直线AC的解析式是y=ax+b,
,
解得:,
则直线AC的解析式是y=﹣x+3,
当x=1时,y=﹣1+3=2,
则P的坐标是(1,2);
(3)在y=﹣x2+2x+3中令y=0,则﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1或x=3.
则D的坐标是(﹣1,0)A的坐标是(3,0).
在y轴的正半轴上截取OH=OD=1,则H的坐标是(0,1),延长DH交AC于点G,则DG⊥AC;
∵直角△ODF中,OH=OD,
∴∠HDO=45°,
同理,∠CAO=45°,
∴∠HDO=∠CAO.则∠CDH=∠CDO﹣∠CAO.
当F在x轴的负半轴上时,
设DG的解析式是y=ex+f,则,
解得,则DG的解析式是y=x+1.
根据题意得:,
解得:,
则G的坐标是(1,2).
则DG=,CD=,CG=.
当∠CFO=∠CDH=∠CDO﹣∠CAO时,△CFO∽△CDG,
则,即,解得:OF=6,
则F的坐标是(﹣6,0).
根据对称性可得当F在x轴的正半轴上时F的坐标是(6,0);
(4)当抛物线沿y轴的正半轴移动时,如图3,
设Q的坐标是(1,n).作QI⊥y轴于点I.则IQ=1,IC=n﹣3,
则QO平分∠CQN,则CQ=OC=3,12+(n﹣3)2=32,
解得:n=3+2,
则Q的坐标是(1,3+2);
同理,当抛物线沿y轴的负方向移动时Q的坐标是(1,3﹣2).
总之,Q的坐标是(1,3+2)或(1,3﹣2).