题目内容

【题目】如图1,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点AC分别在x轴和y轴正半轴上,点B坐标为(33),抛物线y=﹣x2+bx+c过点AC,交x轴负半轴于点D,与BC边的另一个交点为E,抛物线的顶点为M,对称轴交x轴于点N

1)求抛物线的函数关系式;

2)点P在直线MN上,求当PE+PA的值最小时点P的坐标;

3)如图2,探索在x轴是否存在一点F,使∠CFO=CDO﹣CAO?若存在,求点F的坐标;不存在,说明理由;

4)将抛物线沿y轴方向平移m个单位后,顶点为Q,若QO平分∠CQN,求点Q的坐标.

【答案】1y=-x2+2x+3;(2P12)(3F60),(-60);(4Q1 ),(1

【解析】试题分析:(1)由已知条件易得点A和点C的坐标,再利用待定系数法即可求得函数的解析式;(2AC与对称轴的交点就是P,利用待定系数法求得AC的解析式,即可求得点P的坐标;(3)在y轴的正半轴上截取OH=OD=1,则H的坐标是(01),延长DHAC于点G,则DG⊥AC∠CDH=∠CDO﹣∠CAO,当Fx轴的负半轴上时,当∠CFO=∠CDH=∠CDO﹣∠CAO时,则△CFO∽△CDG,根据相似三角形的对应边的比相等即可求得OF的长,则F的坐标即可求得,然后根据对称性求得Fx轴的正半轴时的坐标;

4)当抛物线沿y轴的正半轴移动时,Q的横坐标是1QO平分∠CQN,则CQ=OC,利用勾股定理即可求得Q的纵坐标;同理求得抛物线沿y轴的负半轴移动时Q的坐标.

试题解析: 解:(1四边形OABC是正方形,B的坐标是(33),

∴A的坐标是(30),C的坐标是(03).

根据题意得

解得:

则二次函数的解析式是y=﹣x2+2x+3

2)设直线AC的解析式是y=ax+b

解得:

则直线AC的解析式是y=﹣x+3

x=1时,y=﹣1+3=2

P的坐标是(12);

3)在y=﹣x2+2x+3中令y=0,则﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1x=3

D的坐标是(﹣10A的坐标是(30).

y轴的正半轴上截取OH=OD=1,则H的坐标是(01),延长DHAC于点G,则DG⊥AC

直角△ODF中,OH=OD

∴∠HDO=45°

同理,∠CAO=45°

∴∠HDO=∠CAO.则∠CDH=∠CDO﹣∠CAO

Fx轴的负半轴上时,

DG的解析式是y=ex+f,则

解得,则DG的解析式是y=x+1

根据题意得:

解得:

G的坐标是(12).

DG=CD=CG=

∠CFO=∠CDH=∠CDO﹣∠CAO时,△CFO∽△CDG

,即,解得:OF=6

F的坐标是(﹣60).

根据对称性可得当Fx轴的正半轴上时F的坐标是(60);

4)当抛物线沿y轴的正半轴移动时,如图3

Q的坐标是(1n).作QI⊥y轴于点I.则IQ=1IC=n﹣3

QO平分∠CQN,则CQ=OC=312+n﹣32=32

解得:n=3+2

Q的坐标是(13+2);

同理,当抛物线沿y轴的负方向移动时Q的坐标是(13﹣2).

总之,Q的坐标是(13+2)或(13﹣2).

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