Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：
（1）D是BC的中点；
（2）△BEC ∽△ADC；
（3）AB× CE=2DP×AD．

Answer 1

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。
∵AB=AC，∴D是BC的中点。
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，即∠CEB=∠CDA=90°，
∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC。
（3）∵△BEC∽△ADC，∴∠CBE=∠CAD。
∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAD=∠CAD。∴∠BAD=∠CBE。
∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE。
∴。∴。
∵BC=2BD，∴，即。
∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE。∴。
∴，即AB•CE=2DP•AD。

圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点。
（2）由AB是⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可证得△BEC∽△ADC。
（3）易证得△ABD∽△BCE与△BPD∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得AB•CE=2DP•AD。