题目内容
（2009•朝阳区二模）如图，点A在x轴的负半轴上，OA=4，AB=OB=
．将△ABO绕坐标原点O顺时针旋转90°，得到△A1B1O，再继续旋转90°，得到△A2B2O．抛物线y=ax2+bx+3经过B、B1两点．（1）求抛物线的解析式；
（2）点B2是否在此抛物线上，请说明理由；
（3）在该抛物线上找一点P，使得△PBB2是以BB2为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标；
（4）在该抛物线上，是否存在两点M、N，使得原点O是线段MN的中点？若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）可先求出B点的坐标，根据旋转的性质不难得出B1的横坐标的就是B点的纵坐标，而B1的纵坐标就是B的横坐标的绝对值，由此可求出B1的坐标，同理可求出B2的坐标，然后将这B、B1点的坐标代入抛物线中，即可求出二次函数的解析式．
（2）根据（1）求出的B2和抛物线的解析式即可判断出B2是否在抛物线上．
（3）已知了等腰三角形是以BB2为底，因此P点必为BB2的垂直平分线与抛物线的交点，可先求出BB2的垂直平分线的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出符合条件的P点的坐标．
（4）由题意可知：M、N关于原点对称，那么可设两点的坐标分别为（x，y），（-x，-y），由于两点都在抛物线上，因此可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，可得出一个关于x、y的方程组，即可求出两点的坐标．
解答：
解：
（1）过点B作BE⊥OA于点E，
∵AB=OB，
∴OE=
OA=2．
又OB=
，
∴BE=
=1．
∴B（-2，1）．（1）
∴B1（1，2），B2（2，-1）．
∵抛物线y=ax2+bx+3经过B、B1两点，
∴
．
解得
．
∴抛物线的解析式为y=-
x2-
x+3．
（2）∵当x=2时，y=-
×22-
×2+3=-
≠-1，
∴点B2（2，-1）不在此抛物线上．
（3）点P应在线段BB2的垂直平分线上，由题意可知，OB1⊥BB2且平分BB2，
∴点P在直线OB1上．
可求得OB1所在直线的解析式为y=2x．
又点P是直线y=2x与抛物线y=-
x2-
x+3的交点，
由
．
解得
，
．
∴符合条件的点P有两个，P1（1，2），P2（-
，-9）．
（4）存在．（-
，
）（
，
）．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、等腰三角形的判定等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．
（2）根据（1）求出的B2和抛物线的解析式即可判断出B2是否在抛物线上．
（3）已知了等腰三角形是以BB2为底，因此P点必为BB2的垂直平分线与抛物线的交点，可先求出BB2的垂直平分线的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出符合条件的P点的坐标．
（4）由题意可知：M、N关于原点对称，那么可设两点的坐标分别为（x，y），（-x，-y），由于两点都在抛物线上，因此可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，可得出一个关于x、y的方程组，即可求出两点的坐标．
解答：
解：（1）过点B作BE⊥OA于点E，
∵AB=OB，
∴OE=
OA=2．又OB=
，∴BE=
=1．∴B（-2，1）．（1）
∴B1（1，2），B2（2，-1）．
∵抛物线y=ax2+bx+3经过B、B1两点，
∴
．解得
．∴抛物线的解析式为y=-
x2-x+3．（2）∵当x=2时，y=-
×22-×2+3=-≠-1，∴点B2（2，-1）不在此抛物线上．
（3）点P应在线段BB2的垂直平分线上，由题意可知，OB1⊥BB2且平分BB2，
∴点P在直线OB1上．
可求得OB1所在直线的解析式为y=2x．
又点P是直线y=2x与抛物线y=-
x2-x+3的交点，由
．解得
，．∴符合条件的点P有两个，P1（1，2），P2（-
，-9）．（4）存在．（-
，）（，）．点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、等腰三角形的判定等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．
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