题目内容

(2012•黄陂区模拟)如图,函数y=
k
x
(x<0)
的图象与直线y=-
3
3
x
交于A点,将直线OA绕O点顺时针旋转30°,交函数y=
k
x
(x<0)
的图象于B点,若线段AB=3
2
-
6
,则k=
-3
3
-3
3
分析:作AC⊥x轴与C,BD⊥x轴于D,AE⊥BD于E点,设A点坐标为(3a,-
3
a),则OC=-3a,AC=-
3
a,利用勾股定理计算出OA=-2
3
a,得到∠AOC=30°,再根据旋转的性质得到OA=OB,∠BOD=60°,易证得Rt△OAC≌Rt△BOD,OD=AC=-
3
a,BD=OC=-3a,于是有AE=OC-OD=-3a+
3
a,BE=BD-AC=-3a+
3
a,即AE=BE,则△ABE为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质得到3
2
-
6
=
2
(-3a+
3
a),求出a=1,确定A点坐标为(3,-
3
),然后把A(3,-
3
)代入函数y=
k
x
即可得到k的值.
解答:解:作AC⊥x轴与C,BD⊥x轴于D,AE⊥BD于E点,如图,
点A在直线y=-
3
3
x上,可设A点坐标为(3a,-
3
a),
在Rt△OAC中,OC=-3a,AC=-
3
a,
∴OA=
AC2+OC2
=-2
3
a,
∴∠AOC=30°,
∵直线OA绕O点顺时针旋转30°得到OB,
∴OA=OB,∠BOD=60°,
∴∠OBD=30°,
∴Rt△OAC≌Rt△BOD,
∴OD=AC=-
3
a,BD=OC=-3a,
∵四边形ACDE为矩形,
∴AE=OC-OD=-3a+
3
a,BE=BD-AC=-3a+
3
a,
∴AE=BE,
∴△ABE为等腰直角三角形,
∴AB=
2
AE,即3
2
-
6
=
2
(-3a+
3
a),
解得a=1,
∴A点坐标为(3,-
3
),
而点A在函数y=
k
x
的图象上,
∴k=3×(-
3
)=-3
3

故答案为-3
3
点评:本题考查了反比例函数综合题:点在反比例函数图象上,则点的横纵坐标满足其解析式;利用勾股定理、旋转的性质以及等腰直角三角形的性质进行线段的转换与计算.
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