题目内容
【题目】如图,抛物线(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.
【答案】(1);(2)(,0);(3)4,M(2,﹣3).
【解析】试题分析:方法一:
(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可.
(2)首先根据抛物线的解析式确定A点坐标,然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置,由此确定圆心坐标.
(3)△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示,若要它的面积最大,需要使h取最大值,即点M到直线BC的距离最大,若设一条平行于BC的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点M.
方法二:
(1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将B点坐标代入解析式中即可.
(2)通过求出A,B,C三点坐标,利用勾股定理或利用斜率垂直公式可求出AC⊥BC,从而求出圆心坐标.
(3)利用三角形面积公式,过M点作x轴垂线,水平底与铅垂高乘积的一半,得出△MBC的面积函数,从而求出M点.
试题解析:解:方法一:
(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=,∴抛物线的解析式为: .
(2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2);
∴OA=1,OC=2,OB=4,即:OC2=OAOB,又:OC⊥AB,∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC;
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径;
所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0).
(3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=x﹣2;
设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:
x+b=,即: ,且△=0;
∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4;
∴直线l:y=x﹣4.
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有: ,解得:
即 M(2,﹣3).
过M点作MN⊥x轴于N,S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.
方法二:
(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=,∴抛物线的解析式为: .
(2)∵y=(x﹣4)(x+1),∴A(﹣1,0),B(4,0).C(0,﹣2),∴KAC= =﹣2,KBC= =,∴KAC×KBC=﹣1,∴AC⊥BC,∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形,△ABC的外接圆的圆心是AB的中点,△ABC的外接圆的圆心坐标为(,0).
(3)过点M作x轴的垂线交BC′于H,∵B(4,0),C(0,﹣2),∴lBC:y=x﹣2,设H(t, t﹣2),M(t, ),∴S△MBC=×(HY﹣MY)(BX﹣CX)=×(t﹣2﹣)(4﹣0)=﹣t2+4t,∴当t=2时,S有最大值4,∴M(2,﹣3).
【题目】某地某月1~20日中午12时的气温(单位:℃)如下:
22 31 25 15 18 23 21 20 27 17 20 12 18 21 21 16 20 24 26 19
(1)将下列频数分布表补充完整:
气温分组 | 划记 | 频数 |
12≤x<17 | 3 | |
17≤x<22 | 10 | |
22≤x<27 | 5 | |
27≤x<32 | 2 |
(2)补全频数分布直方图;
(3)根据频数分布表或频数分布直方图,分析数据的分布情况.