Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC的中点．其中正确结论的个数有

1. A.
   4个
2. B.
   3个
3. C.
   2个
4. D.
   1个

Answer 1

B
分析：由△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可求得∠ABC与∠C的度数，又由AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=BD，继而可求得∠ABD，∠DBC的度数，则可得BD平分∠ABC；又可求得∠BDC的度数，则可证得AD=BD=BC；可求得△BDC的周长等于AB+BC．
解答：∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C==72°，
∵AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
故（1）正确；
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC=AD，
故（2）正确；
△BDC的周长等于BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=AB+BC；
故（3）正确；
∵AD=BD＞CD，
∴D不是AC的中点，
故（4）错误．
故选B．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．