题目内容

【题目】(2017江苏省泰州市,第25题,12分)阅读理解:

如图①,图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中,若线段PA1最短,则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离.

例如:图②中,线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离;线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离.

解决问题:

如图③,平面直角坐标系xOy中,点AB的坐标分别为(8,4),(12,7),点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒.

(1)当t=4时,求点P到线段AB的距离;

(2)t为何值时,点P到线段AB的距离为5?

(3)t满足什么条件时,点P到线段AB的距离不超过6?(直接写出此小题的结果)

【答案】(1);(2)t=5t=11;(3)8﹣t

【解析】试题分析:(1)作ACx轴,由PC=4、AC=4,根据勾股定理求解可得;

(2)作BDx轴,分点PAC左侧和右侧两种情况求解,P位于AC左侧时,根据勾股定理即可得;P位于AC右侧时,作AP2AB,交x轴于点P2,证ACP2≌△BEAAP2=BA=5,从而知P2C=AE=3,继而可得答案;

(3)分点PAC左侧和右侧两种情况求解,P位于AC左侧时,根据勾股定理即可得;点P位于AC右侧且P3M=6时,作P2NP3M于点N,知四边形AP2NM是矩形,证ACP2∽△P2NP3,求得P2P3的长即可得出答案.

试题解析:解:(1)如图1,作ACx轴于点C,则AC=4、OC=8,当t=4时,OP=4,∴PC=4,∴P到线段AB的距离PA===

(2)如图2,过点BBDx轴,交y轴于点D.

当点P位于AC左侧时,AC=4、P1A=5,∴P1C= ==3,∴OP1=5,即t=5;

当点P位于AC右侧时,过点AAP2AB,交x轴于点P2,∴∠CAP2+∠EAB=90°,∵BDx轴、ACx轴,CEBD,∴∠ACP2=∠BEA=90°,∴∠EAB+∠ABE=90°,∴∠ABE=∠P2AC,在ACP2BEA中,∵∠ACP2=∠BEA=90°,AE=BE,∠P2AC=∠ABE,∴△ACP2≌△BEA(ASA),∴AP2=BA= = =5,而此时P2C=AE=3,∴OP2=11,即t=11;

综上所述:t=5t=11.

(3)如图3,①当点P位于AC左侧,且AP3=6时,则P3C===,∴OP3=OCP3C=8﹣

当点P位于AC右侧,且P3M=6时,过点P2P2NP3M于点N,则四边形AP2NM是矩形,∴∠AP2N=90°,∠ACP2=∠P2NP3=90°,AP2=MN=5,∴△ACP2∽△P2NP3,且NP3=1,∴,即,∴P2P3=,∴OP3=OC+CP2+P2P3=8+3+=,∴8﹣t时,点P到线段AB的距离不超过6.

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