Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，，点G是△ABC的重心，AG的延长线交边BC于点D.过点G的直线分别交边AB于点P、交射线AC于点Q.
（1）求AG的长；
（2）当∠APQ=90º时，直线PG与边BC相交于点M.求的值；
（3）当点Q在边AC上时，设BP=，AQ=，求关于的函数解析式，并写出它的定义域.[

Answer 1

(1)AG=8；（2）=；(3).

解析试题分析：（1）根据已知条件和重心的性质得出BD=DC=BC，AD⊥BC，再根据sinB=，求出AB、BC、AD的值，从而求出AG的长；
（2）根据∠GMD+∠MGD=90°和∠GMD+∠B=90°，得出∠MGD=∠B，再根据特殊角的三角函数值求出DM、CM=CD-DM的值，在△ABC中，根据AA求出△QCM∽△QGA，即可求出的值；
（3）过点B作BE∥AD，过点C作CF∥AD，分别交直线PQ于点E、F，则BE∥AD∥CF，得出，求出BE的值，同理可得出CF的值，最后根据BD=CD，求出EG=FG，即可得出CE+BE=2GD，从而得出求y关于x的函数解析式并得出它的定义域．
试题解析：
（1）在△ABC中，∵AB=AC，点G是△ABC的重心,

∴，AD⊥BC.
在Rt△ADB中，∵,∴.
∵, ∴AB=15，BC=18.
∴AD="12."
∵G是△ABC的重心，∴.
（2）在Rt△MDG,∵∠GMD+∠MGD=90°，
同理:在Rt△MPB中,∠GMD+∠B=90°,
∴∠MGD=∠B.
∴,
在Rt△MDG中,∵，
∴，∴
在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC,∴.
∵,
又∵,
∴,
又∵,
∴△QCM∽△QGA.
∴.
（3）过点作,过点作,分别交直线于点E、F，则.

∵,∴,即,
∴
同理可得:,即,
∴.    
∵, ,∴.
∴,即.  
∴,.
考点：相似形综合题．