题目内容

【题目】锐角为45°的直角三角形的两直角边长也相等,这样的三角形称为等腰直角三角形.我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形,也可称它为等腰直角三角板.把两块全等的等腰直角三角板按如图1放置,其中边BCFP均在直线l上,边EF与边AC重合.

1)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EPAC于点Q,连接APBQ.猜想并写出BQAP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;

2)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接APBQ.你认为(1)中所猜想的BQAP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.

【答案】见解析

【解析】试题分析:1)延长BQAP于点M,根据等腰直角三角板的每一个锐角都是45°可得∠EPF=45°,然后求出∠CQP=45°,根据等角对等边的性质求出CQ=CP,然后利用边角边定理证明BCQACP全等,再根据全等三角形对应边相等,即可证明BQ=AP,对应角相等可得∠CBQ=CAP,又∠CBQ+BQC=90°,所以∠CAP+AQM=90°,从而得到BQAP

2)延长QBAP于点M,根据等腰直角三角板的每一个锐角都是45°可得∠EPF=45°,根据对顶角相等得到∠CPQ=45°,然后求出∠CQP=45°,根据等角对等边的性质求出CQ=CP,然后利用边角边定理证明BCQACP全等,再根据全等三角形对应边相等,即可证明BQ=AP,对应角相等可得∠BQC=APC,又∠CBQ+BQC=90°,所以∠PBM+APC=90°,从而得到BQAP

试题解析:1BQ=APBQAP

证明:延长BQAP于点M

∵△ABCEFP都是等腰直角三角板,

BC=ACACBCEPF=45°

∴∠BCQ=ACP=90°CQP=EPF=45°

CQ=CP

BCQACP中,

∴△BCQ≌△ACPSAS),

BQ=APCBQ=CAP

∵∠BCQ=90°

∴∠CBQ+BQC=90°

∵∠BQC=AQM(对顶角相等),

∴∠CAP+AQM=90°

∴∠AMB=90°

BQAP

2)关系仍然成立:BQ=APBQAP

证明:延长QBAP于点M

∵△ABCEFP都是等腰直角三角板,

BC=ACACBCEPF=45°

∴∠BCQ=ACP=90°

∵∠CQP=EPF=45°

∴∠CPQ=CQP=45°

CQ=CP

BCQACP中,

∴△BCQ≌△ACPSAS),

BQ=APBQC=APC

∵∠BCQ=90°

∴∠CBQ+BQC=90°

∵∠PBM=QBC(对顶角相等),

∴∠PBM+APC=90°

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