Question

如图，已知BC是⊙O的直径，P是⊙O上一点，A是

BP

的中点，AD⊥BC于点D，BP与AD相交于点E，若∠ACB=36°，BC=10．
（1）求

AB

的长；
（2）求证：AE=BE．

Answer 1

分析：（1）要求

AB

的长，就要连接OA，求出圆心角，利用弧长公式计算；
（2）连接AB，点A是

BP

的中点，所以

BA

=

AP

，则利用等弧所对的圆周角相等可得∠C=∠ABP．在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用同一角的余角相等可得∠BAD=∠C，则∠ABP=∠BAD，所以AE=BE．

解答：（1）解：连接OA，∵∠ACB=36°，∴∠AOB=72°．
又∵OB=

1

2

BC=5，
∴

AB

的长为：l=

nπR

180

=

72×π×5

180

=2π．

（2）证明：连接AB，
∵点A是

BP

的中点，
∴

BA

=

AP

．
∴∠C=∠ABP．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠ABP=∠BAD，
∴AE=BE．

点评：本题主要考查了弧长公式和等弧所对的圆周角相等的性质．