Question

如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为

BF

的中点，BF交AD于点E，且BE•EF=32，AD=6．
（1）求证：AE=BE；
（2）求DE的长；
（3）求BD的长．

Answer 1

分析：（1）连接AF，根据圆周角定理求得；
（2）设DE=x（x＞0），由AD=6，BE•EF=32，AE•EH=BE•EF，可列式为（6-x）（6+x）=32，由此求解；
（3）由（1）、（2）有：BE=AE=6-2=4，根据Rt△BDE中的勾股定理求解．

解答：（1）证明：连AF，AB，AC．因为A是

BF

的中点，
∴∠ABE=∠AFB．
又∠AFB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB．
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，AH⊥BC．
∴∠BAE=∠ACB．
∴∠ABE=∠BAE．
∴AE=BE．（3分）

（2）解：设DE=x（x＞0），由AD=6，BE•EF=32，AE•EH=BE•EF，（4分）
则（6-x）（6+x）=32，
解得x=2，
即DE的长为2；（5分）

（3）解：由（1）、（2）有：BE=AE=6-2=4，
在Rt△BDE中，BD=

42-22

=2

3

．（7分）

点评：主要考查了相交弦定理，勾股定理，垂径定理和圆周角定理的运用．牢固掌握该定理可在综合题型中灵活运用．