题目内容
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)。
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴;
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动,点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动,设运动时间为t秒。
①当t为何值时,四边形ABPQ为等腰梯形;
②设PQ与对称轴的交点为M,过M点作x轴的平行线交AB于点N,设四边形ANPQ的面积为S,求面积S关于时间t的函数解析式,并指出t的取值范围;当t为何值时,S有最大值或最小值。
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴;
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动,点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动,设运动时间为t秒。
①当t为何值时,四边形ABPQ为等腰梯形;
②设PQ与对称轴的交点为M,过M点作x轴的平行线交AB于点N,设四边形ANPQ的面积为S,求面积S关于时间t的函数解析式,并指出t的取值范围;当t为何值时,S有最大值或最小值。
解:(1)∵二次函数的图象经过点C(0,-3), ∴c=-3, 将点A(3,0),B(2,-3)代入得, ∴, 配方得:, 所以对称轴为x=1; |
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(2)由题意可知:BP= OQ=0.1t, ∵点B,点C的纵坐标相等, ∴BC∥OA, 过点B,点P作BD⊥OA,PE⊥OA,垂足分别为D,E, 要使四边形ABPQ为等腰梯形,只需PQ=AB,即QE=AD=1, 又QE=OE-OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t, ∴2-0.2t=1, 解得t=5, 即t=5秒时,四边形ABPQ为等腰梯形, ②设对称轴与BC,x轴的交点分别为F,G, ∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线, ∴BF=CF=OG=1, 又∵BP=OQ, ∴PF=QG, 又∵∠PMF=∠QMG, ∴△MFP≌△MGQ, ∴MF=MG, ∴点M为FG的中点, ∴S==, 由 又BC=2,OA=3, ∴点P运动到点C时停止运动,需要20秒, ∴0<t≤20, ∴当t=20秒时,面积S有最小值3。 |
练习册系列答案
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已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0,a,b,c为常数),对称轴为直线x=1,它的部分自变量与函数值y的对应值如下表,写出方程ax2+bx+c=0的一个正数解的近似值________(精确到0.1).
x | -0.1 | -0.2 | -0.3 | -0.4 |
y=ax2+bx+c | -0.58 | -0.12 | 0.38 | 0.92 |