Question

如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。
（1）那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明理由。
（2）在(1)的前提下△ABC满足什么条件,四边形AECF是正方形？(直接写出答案,无需证明)。

Answer 1

（1）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由详见解析. (2)当△ABC为直角三角形且∠BCA=90°时四边形AECF是正方形，理由详见解析.

试题分析：根据矩形的判定定理选择合适的判定方法，巧妙运用平行线和角平分线即可解答.
（1）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.
证明：如图所示∵O运动到AC中点，∴OA=OC=，∵MN∥BC，∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等)∵CF为∠BCA的外角平分线∴∠1=∠3，∴∠2=∠3∴OF=OC（△COF为等腰三角形），同理可得OE=OC
∵OA=OC，OF=OC，OE=OC∴OA=OC=OE=OF即EF、AC相互平分，且AC=EF，∴四边形AECF是矩形.（两对角线相互平分且相等）.
(2)当△ABC为直角三角形且∠BCA=90°时四边形AECF是正方形.
证明∵MN∥BC∴∠AOE=∠BCA=90°即AC⊥EF，又∵四边形AECF是矩形，∴四边形AECF是正方形（矩形判定定理：对角线互相垂直的矩形是正方形）.