题目内容
【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C,D为y轴上一点,点D关于直线BC的对称点为D’
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点D在x轴上方,且△OBD的面积等于△OBC的面积时,求点D的坐标;
(3)当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时,求出点D的坐标;
(4)点P在抛物线上(不与点B、C重合),连接PD、PD′、DD,是否存在点P,使△PDD′是以D为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）
；（2）（0,4）；（3）（0，-1）；（4）（5,6）或（3，-4）
【解析】
（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）根据△OBD的面积等于△OBC的面积，又两三角形的底边都为OB，故高相等，即D点为C点关于x轴的对称点；
（3）可知△OBC为等腰直角三角形，求出点D′的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得CD＝2，求出D点坐标；
（4）可以D为直角顶点画图，即可求出点P的坐标．
（1）∵抛物线y＝ax2＋bx3经过A（1，0）、B（4，0）两点
∴将A（1，0）、B（4，0）分别代入y＝x2＋bx＋c 得
，
解得
，
所以，抛物线的解析式．
（2）当x＝0时，=-4，
∴C（0，4），
∵△OBD的面积等于△OBC的面积，又两三角形的底边都为OB，
∴高相等，即D点为C点关于x轴的对称点；
故D（0,4）；
（3）∵B（4，0），
∴OB＝OC＝4，
∴△OBC为等腰直角三角形，∠OCB＝45°，
如图，设D（0，t），
∵点D关于直线BC的对称点为D′连接DD′，CD′，
∴由对称性可知：∠DCD′＝2∠OCB＝90° CD＝CD′，
∴CD′∥x轴，
∴点D′的纵坐标为4，
当点D′在第四象限抛物线上时，将y＝4代入
解得x1＝3，x2 ＝0 （舍去）
∴CD＝CD′＝3，
∴t＝4＋3＝1，
∴D（0，1）．
（4）如图，以D为直角顶点，此时PC∥x轴，
∴P点纵坐标为-4，
∴P（3，4），
如图，以D为直角顶点，此时PD′∥y轴，
∵B（4,0）C（0,4），∴∠DCB=45°,
设D（0，t）,∴CD=t+4
作DH⊥PD’，
由△DPD’为等腰三角形的得到DH=D’H=CD·tan45°=t+4，
∴PD’=2PH=2DH=2t+8,BP=PD’-BD’= PD’-CO=2t+8-4=2t+4
∴P点坐标为（t+4，2t+4）
代入，求得t=1，t=-4（舍去）
∴P（5,6），
综上可得点P的坐标为（3，4）或（5,6）.
