Question

【题目】如图1，抛物线交正半轴于点，将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，与交于点，直线交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是抛物线上间的一点，作轴交抛物线于点，连接，．设点的横坐标为，当为何值时，使的面积最大，并求出最大值；

（3）如图2，将直线向下平移，交抛物线于点，，交抛物线于点，，则的值是否为定值，证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，有最大值，最大值为6；（3）的值是定值1，见解析

【解析】

（1）先将抛物线化为顶点式，由平移规律“上加下减，左加右减”可直接写出抛物线M2的解析式；

（2）分别求出点A，点B，点C的坐标，求出m的取值范围，再用含m的代数式表示出△CPQ的面积，可用函数的思想求出其最大值；

（3）设直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH，分别求出点E，F，G，H的横坐标，分别过G，H作轴的平行线，过E，F作轴的平行线，构造相似三角形△GEM与△HFN，可通过相似三角形的性质求出的值为1.

解：（1），

将其先向右平移3个单位，再向上平移3个单位的解析式为：；

（2）抛物线与交于点，

，

解得：，

，

将点代入，

得：，

，

抛物线与直线交于点，

，

解得：，，

，

点的横坐标为，

点，

则，

，

，

，

在中，当时，

，，

，

，

，

在中，

根据二次函数的图象及性质可知，当时，有最大值，最大值为6；

（3）的值是定值1．理由如下：

设将直线向下平移个单位长度得到直线，

则，

令，

解得：，，

，，

令，

解得：，，

，，

，

，

分别过，作轴的平行线，过，作轴的平行线，交点分别为，，，

则，，

，

，

，

的值是定值1．