Question

已知抛物线C₁：y=mx²+（2m+1）x+m+1，其中m≠0．
（1）求证：m为任意非零实数时，抛物线C₁与x轴总有两个不同的交点；
（2）求抛物线C₁与x轴的两个交点的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）将抛物线C₁沿x轴正方向平移一个单位长度得到抛物线C₂，则无论m取任何非零实数，C₂都经过同一个定点，直接写出这个定点的坐标．

Answer 1

解：（1）证明：△=b²-4ac=（2m+1）²-4•m•（m+1）=1＞0，
∴m为任意非零实数时，抛物线C₁与x轴总有两个不同的交点．

（2）mx²+（2m+1）x+m+1=0，
分解因式得：（mx+m+1）（x+1）=0，
mx+m+1=0，x+1=0，
∴x₁=-，x₂=-1，
∴（-，0），（-1，0），
答：抛物线C₁与x轴的两个交点的坐标是（-，0），（-1，0）．

（3）∵将抛物线C₁沿x轴正方向平移一个单位长度得到抛物线C₂，抛物线C₁：y=mx²+（2m+1）x+m+1，
∴C₂：y=m（x-1）²+（2m+1）（x-1）+m+1=mx²+x，
∴无论m取任何非零实数，C₂都经过同一个定点（0，0），
答：无论m取任何非零实数，C₂都经过同一个定点，这个定点的坐标是（0，0）．
分析：（1）求出b²-4ac的值，根据根与系数的关系求出即可；
（2）求出方程mx²+（2m+1）x+m+1=0的解即可；
（3）根据平移的规律得出C₂的解析式y=mx²+x+1，求出抛物线与y轴的交点即可．
点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，解一元二次方程，平移的性质等知识点的理解和掌握，能根据性质进行推理是解此题的关键．