题目内容

如图,已知抛物线经过A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H.

(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求△PBC周长的最小值;
(3)若E是线段AD上的一个动点( E与A、D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,△ADF的面积为S.
①求S与m的函数关系式;
②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.

(1);(2)+;(3)①,②当m=﹣2时,S最大,最大值为1,此时点E的坐标为(﹣2,2).

解析试题分析:(1)把A、B的坐标代入抛物线的解析式即可;
(2)作B关于对称轴的对称点A,连结AC交对称轴于P,点P就是所求的点;△PBC得周长就是AC+BC;
(3)①求出直线AD的解析式,由点E的横坐标为m,可以表示出点E的纵坐标;由于F的横坐标也是m,点F在抛物线上,所以可以用m表示出F的纵坐标,由S△ADF =S△DEF+S△AEF即可求出S关于m的表达式;
②把①中的函数表达式化为顶点式,即可求出最大值和点E的坐标.
试题解析:(1)由题意可知:,解得:,∴抛物线的解析式为:
(2)∵,∴C(0,3).∵△PBC的周长为:PB+PC+BC,BC是定值,∴当PB+PC最小时,△PBC的周长最小,∵如图1,点A、点B关于对称轴l对称,∴连接AC交l于点P,即点P为所求的点.∵AP=BP,∴△PBC的周长最小值是:PB+PC+BC=AC+BC.∵A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3),∴AC=,BC=;∴△PBC的周长最小值=+

(3)如图2,①∵抛物线顶点D的坐标为(﹣1,4),A(﹣3,0),∴直线AD的解析式为,∵点E的横坐标为m,∴E(m,2m+6),F(m,),
∴EF==
∴S=S△DEF+S△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH==

=;∴当m=﹣2时,S最大,最大值为1,此时点E的坐标为(﹣2,2).
考点:二次函数综合题.

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