Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x²﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB．

（1）求点A，B的坐标．
（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1=，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数的图象经过点D，求k的值．
（3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A（6，0），B（0，8）。
（2）k=84。
（3）存在。点N的坐标为（4，11）或（16，20）。

试题分析：（1）解一元二次方程，求得OA、OB的长度，得到点A、B的坐标。
解：解方程x²﹣14x+48=0，得：x₁=6，x₂=8。
∵OA，OB的长分别是方程x²﹣14x+48=0的两根，且OA＜OB，∴OA=6，OB=8。
∴A（6，0），B（0，8）。
（2）如答图所示，作辅助线，构造全等三角形△AOB≌△DEA，求得点D的坐标；进而由题意，求出k的值。
如答图所示，过点D作DE⊥x轴于点E．

在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，
由勾股定理得：AB=10。
∴。
∵sin∠1=，∴∠OBA=∠1。
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠1+∠ADE=90°，
∴∠OAB=∠ADE。
在△AOB与△DEA中，∵∠OBA=∠1，AB=AD，∠OAB=∠ADE，
∴△AOB≌△DEA（ASA）。∴AE=OB=8，DE=OA=6。∴OE=OA+AE=6+8=14。
∴D（14，6）。
∵反比例函数的图象经过点D，∴k=14×6=84。
（3）如答图所示，可能存在两种情形：
如图所示，若以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形，

①当AB：AM₁=2：1时，
过点M₁作M₁E⊥x轴于点E，
易证Rt△AEM₁∽Rt△BOA，
∴，即
∴AE=4，M₁E=3。
过点N₁作N₁F⊥y轴于点F，易证Rt△N₁FB≌Rt△AEM₁，
∴N₁F=AE=4，BF=M₁E=3，∴OF=OB+BF=8+3=11。
∴N₁（4，11）。
②当AB：AM₂=1：2时，同理可求得：N₂（16，20）。
综上所述，存在满足条件的点N，点N的坐标为（4，11）或（16，20）。