Question

把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设a_ij（i、j∈N+）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数的第j个数（如a₄₂=8）．
（1）若a_ij=2010，求i、j的值．
（2）记三角形数表从上往下数第n行各数的和为b_n，令cn=

1，n=1 n bn-n ，n≥2

．若数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）三角形数表中前n行共有1+2+…+n=

n(n+1)

2

个，即第i行的最后一个数是

i(i+1)

2

．
因此，使a_ij=2010的i是不等式

i(i+1)

2

≥2010的最小正整数解．
（2）先求出前n行的所有自然数的和，从而得出b_n，代入即可求得c_n，T_n．

解答：解：（1）因为

62×63

2

=1953，
而

63×64

2

=2016，所以i=63．
于是，第63行的第一个数是

62×63

2

+1=1954．
故j=（2010-1954）+1=57．

（2）前n行的所有自然数的和为S_n=

1

2

×

n(n+1)

2

[

n(n+1)

2

+1]=

n(n+1)(n2+n+2)

8

．
则bn=Sn-Sn-1=

n(n2+1)

2

，
所以当n≥2时，c_n=

n

bn-n

=

1

n-1

-

1

n+1

，
∴T_n=

5

2

-

1

n

-

1

n+1

．

点评：本题考查了规律型：数字的变化，注意三角形数表中前n行共有1+2+…+n=

n(n+1)

2

个，即第i行的最后一个数是

i(i+1)

2

，依此解题．