Question

【题目】如图，在平面直角坐标中，△AOB的三个顶点的坐标分别是A（4，4），O（0，0），B（6，0），点M是射线OB上的一动点，过点M作MN∥AB，MN与射线OA交于点N，P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN，设△PMN的面积为S．

（1）点M的坐标为（2，0）时，求点N的坐标．

（2）当M在边OB上时，S有最大值吗？若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由．

（3）是否存在点M，使△PMN和△ANB中，其中一个面积是另一个2倍？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）N（，）；

（2）x=3时，S有最大值为3

（3）M（12，0）或M（3，0）．

【解析】

试题分析：（1）由相似三角形的性质即可，

（2）由两直线平行，得到三角形相似，再由相似得到比例式，表示出NH，从而求出S的函数关系式；

（3）利用同高的两个三角形的面积比是底的比，得出MN=2AB，求出OM，得到点M的坐标．

试题解析：（1）∵MN∥AB，

∴△OMN∽△OAB，

∴，

∴NH=，

∵点N在直线OA上，直线OA的解析式为y=x，

∴N（，）；

（2）设OM=x，∵MN∥AB，

∴S△MNB=S△PMN=S，

∵△OMN∽△OAB，

∴，NH=x，

∴S=MB×BH=（6﹣x）×x=﹣（x﹣3）2+3，

∴x=3时，S有最大值为3．

（3）假设存在，

设MN与AB之间的距离为h，

若S△PMN=2S△ANB，

∴MH×h=2×AB×h，

∴MN=2AB，

∵△OMN∽△OAB，

∴=2，

∴OM=12，

∴M（12，0），

若S△ANB=2S△PMN，同理可得M（3，0），

∴M（12，0）或M（3，0）．