题目内容
【题目】“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数
的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
（1）设P（
，
）、R（
，
），求直线OM对应的函数表达式（用含，的代数式表示）；
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB；
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）
【答案】（1）. y=
x；（2）.证明见解析；（3）.见解析.
【解析】
（1）根据点P、点R的坐标得出点M的坐标，设出直线OM的解析式，将点M的坐标代入直线解析式求出未知参数即可；（2）不难证明四边形PQRM为矩形，根据矩形的性质可得出∠PSQ=2∠PMS，PR=2PS，由已知条件PR=2PO可得PS=PO，即∠PSO=∠POS，所以∠POS=2∠PMS，由PM∥x轴可得∠PMS=∠MOB，所以∠POS=2∠MOB，即可证明∠MOB=
∠AOB；（3）方法一：利用钝角的一半是锐角，将利用上述结论将锐角三等分即可；方法二：钝角减去一个直角得一个锐角，利用上述结论将锐角三等分后，再将直角三等分即可.
（1）设直线OM的解析式为y=kx，
∵P（a，
），R（b，
），
∴M（b，），
∴k=，
∴y=x；
（2）证明：由题意得Q（a，），
当x=a时，y=，
∴点Q在直线OM上，
由题意可得∠PMB=∠MRQ=∠RQP=90°，
∴四边形PQRM是矩形，
∴PR=2PS，SP=SM，
∴∠SPM=∠SMP，
∴∠PSO=2∠SMP，
∵PM∥x轴，
∴∠SMP=∠MOB，
∴∠PSO=2∠MOB，
∵PR=2PO，
∴PS=PO，
∴∠PSO=∠POS，
∴∠POS=2∠MOB，
∴∠MOB=∠AOB；
（3）方法一：利用钝角的一半是锐角，将利用上述结论将锐角三等分即可；
方法二：钝角减去一个直角得一个锐角，利用上述结论将锐角三等分后，再将直角三等分即可.
阅读快车系列答案【题目】东坡商贸公司购进某种水果成本为20元/
，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价
（元/）与时间
（天）之间的函数关系式
，为整数，且其日销售量
()与时间（天）的关系如下表：
时间 | 1 | 3 | 6 | 10 | 20 | … |
日销售量 | 118 | 114 | 108 | 100 | 80 | … |
（1）已知与之间的变化符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
