题目内容
【题目】如图：已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，点D是AB上任意一点，AE⊥AB，且AE=BD，DE与AC相交于点F．
（1）试判断△CDE的形状，并说明理由．
（2）是否存在点D，使AE=AF？如果存在，求出此时AD的长，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）△CDE是等腰直角三角形，见解析；（2）存在AD=1．
【解析】
(1)根据等腰直角三角形的性质求∠B=∠BAC=45°,再求出∠CAE=45°,从而得到∠B=∠CAE,再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等,根据全等三角形对应边相等可得CD=CE,全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠BCD,再求出∠DCE=90°,从而得解;(2)根据等腰三角形两底角相等求出∠AEF=∠AFE=67.5°,再根据直角三角形两锐角互余求出∠ADE=22.5",然后求出∠ADC=67.5",利用三角形的内角和定理求出∠ACD=67.5°,从而得到∠ACD=∠ADC,根据等角对等边即可得到AD=AC.
解：（1）△CDE是等腰直角三角形．
理由如下：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵AE⊥AB，
∴∠CAE=90°-45°=45°，
∴∠B=∠CAE，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴CD=CE，∠ACE=∠BCD，
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形；
（2）存在AD=1．.
理由如下：
∵AE=AF，∠CAE=45°，
∴∠AEF=∠AFE=
（180°-45°）=67.5°，.
∴∠ADE=90°-67.5°=22.5°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=45°，
∴∠ADC=22.5°+45°=67.5°，
在△ACD中，∠ACD=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠ACD=∠ADC，
∴AD=AC=1.
