Question

重庆江北国际机场是西南地区三大航空枢纽之一，也是国家大型枢纽机场，中国十大机场，世界百强机场，2012年旅客吞吐量超过2000万人次．也是重庆航空有限公司、西部航空有限责任公司、华夏航空三家航空公司的主基地．重庆航空公司有一个航班每天从重庆飞往北京，从2013年1月31日开始，每天该航班乘坐人数y（人）与天数x（天）（1≤x≤10，且为整数）之间有如下表格关系：

x	1	2	3	4	…
y	210	200	190	180	…

每天航班乘坐人数y与天数x（11≤x≤15，且为整数）有如下图象关系：
（1）请根据表格和图象直接写出y与x之间的关系式．
（2）航班的机票价格包括了机场建设费和燃油附加费．其中国内航线的机场建设费是每人50元，出境国际航班的机场建设费是每人90元．从重庆飞往北京的这个航班，由于乘机人数的变化．机票价格也随之发生改变，在春节前10天（1≤x≤10），每张机票价格m（元）与人数y（人）有如下关系：m=-5y+1450；春节后5天（11≤x≤15），每张机票价格n（元）与人数y（人）有如下关系：n=y+1290．试求出当x取第几天时，航空公司的总收入最大？（航空公司每张机票收入=机票价格-机场建设费）
（3）在第二问的前提条件下，到第16天，由于迎来春节放假返程高峰，在保持每张机票价格与最大收益当天机票价格不变的情况下，乘机人数却增加了2a%．同时由于热门电影《泰囧》的热播，很多旅客选择春节后前往泰国曼谷旅游，重庆航空也在第16日开通了飞往曼谷的航班，每张机票在1500元的基础上降低了0.5a%，出境旅游人数却比第15日前往北京的人数多3a%．当第16日重庆航空公司总计收入为920400元时，试估算a（0＜a＜30）的整数值（参考数据：65²=4225，66²=4356，67²=4489，68²=4624）

Answer 1

【答案】分析：（1）解答本题时根据分段函数，当1≤x≤10，且为整数和11≤x≤15，且为整数直接运用待定系数法就可以求出y与x之间的函数关系式；
（2）先分别表示出当1≤x≤10，且为整数和11≤x≤15，且为整数时机票价格与天数x之间的关系，设航空公司的总收入为W元，由每张机票收入=机票价格-机场建设费就可以表示出w；
（3）先表示出第16天国内乘机人数260（1+2a%）人，第16天的票价为6×15+1460=1550元，前往泰国的票价为1500（1-0.5a%）元，乘机人数为260（1+3a%）人，根据第16日重庆航空公司总计收入为920400元建立方程求出其解即可．
解答：解：（1）当1≤x≤10，且为整数时设y与x之间的函数关系式为y₁=k₁x+b₁，当11≤x≤15，且为整数时，设y与x之间的函数关系式为y₂=k₂x+b₂，由题意，得
，，
解得：，．
∴y₁=-10x+220（1≤x≤10，且为整数），y₂=6x+170（11≤x≤15，且为整数），
∴y=；

（2）设航空公司的总收入为W元，由题意，得
∵m=-5y+1450，
∴m=-5（-10x+220）+1450=50x+350．（1≤x≤10，且为整数）
∵n=y+1290，
∴n=6x+170+1290=6x+1460，（11≤x≤15，且为整数）
当1≤x≤10，且为整数时，
W₁=（50x+350-50）（-10x+220），
=-500x²+8000x+66000，
=-500（x-8）²+98000，
∵a=-500＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=8，
∴当x=8时，W₁=98000，
当11≤x≤15，且为整数时，
W₂=（6x+1460-50）（6x+170），
=36x²+9480x+239700，
=36（x²+x）+239700，
=36（x+）²-384400，
∵a=36＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴抛物线有最小值，在对称轴的右侧，W随x的增大而增大，对称轴为x=-．
∵11≤x≤15，
∴x=15时，W_最大=390000，
∵98000＜390000，
∴当x=15时，最大收入是390000元；

（3）由题意，得
第16天返京乘机人数：260（1+2a%）人，
第16天的票价为：6×15+1460=1550元，
前往泰国的票价为：1500（1-0.5a%）元，
前往泰国乘机人数为：260（1+3a%）人，
（1550-50）[260（1+2a%）]+[1500（1-0.5a%）-90]×260（1+3a%）=920400，
设a%=m，则有
1500×260（1+2m）+[1500（1-0.5m）-90]×260（1+3m）=920400，
1500（1+2m）+[1500（1-0.5m）-90]×（1+3m）=3540，
整理，得25m²-72m+7=0，
解得m=，
m=，
∵67²=4489，
∴m₁=0.1，m₂=2.78，
∴a₁=10，a₂=278．
∵0＜a＜30，且a为整数，
∴a=10．
∴a的整数值为10．
点评：本题是一道运用二次函数解实际问题的试题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据条件建立一元二次方程是关键，运用换元法求解是解答本题的难点．