题目内容

如图甲，把正方形ACFG和Rt△ACB按如图甲所示重叠在一起，其中AC=2，∠BAC=60°，若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转，使斜边AB恰好经过正方形的顶点F，得△A′B′C，AB分别与A′C，A′B′相交于D，E，如图乙所示，那么△ACB与△A′B′C的重叠部分（即阴影部分）的面积为________．

6- $\text{[math]}$
分析：根据题意，建立坐标系，易得A′C′、AB、A′B′的直线方程，进而可得E、H的坐标，计算可得S_△A′DE，由图形间的关系，计算可得答案．
解答：

解：如图取坐标系，易知，△A′CF为正三角形，A′C方程：y= $\text{[math]}$ x①
AB方程： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1②，A′B′方程：y=- $\text{[math]}$ （x-2）③．
①②得D（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）． ②③得E（3- $\text{[math]}$ ，3- $\text{[math]}$ ）．
又A′（1， $\text{[math]}$ ）
y=3- $\text{[math]}$ ，与①联立得H（2- $\text{[math]}$ ，3- $\text{[math]}$ ），
高=2 $\text{[math]}$ -3，底=2- $\text{[math]}$ ．
S_△A′DE=[（2 $\text{[math]}$ -3）（2- $\text{[math]}$ ）]÷2= $\text{[math]}$ -6，
S_AFED=S_△A′CF-S_△A′DE=6- $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查面积的计算，涉及旋转的性质与运用，注意结合函数的基本性质解题．

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如图，把正方形ACFG与Rt△ACB按如图(甲)所示重叠在一起，其中AC=2， ∠BAC=60^。，若把Rt△ACB绕直角顶点C按顺时针方向旋转，旋转角α，且0°≤α≤90°，旋转后的三角形为△A′B′C，A B分别与A′C、A′B′相交于D、E， A′B′与正方形的边的交点为P.
（1）若斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F，如图(乙)所示.
①. △ACB旋转多少度才能得到△A′B′C?说明理由.
②.求△ACB与△A′B′C的重叠部分(即四边形CDEF)的面积.
（2）当α为多少度时？△AD A′为等腰三角形.
（3）α从0°至90°，在整个旋转过程中，求点P移动的距离.

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