题目内容

如图，抛物线交x轴于点A（-2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）若直线y=-x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；
（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN下方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）小题把已知点A B C的坐标代入解析式即可求出抛物线的解析式；
（2）小题利用解析式y=-x，求出ON是∠BOC的平分线，进一步证出MN是BC的垂直平分线，就能判断三角形的形状；
（3）小题利用已知点的坐标和平行四边形的性质设出P点的坐标就能分别求出未知点P F的坐标．

解答：解：（1）设所求的抛物线解析式y=ax²+bx+c，
∵点A、B、C均在此抛物线上，
∴

4a-2b+c=0

16a+4b+c=0

c=-4

∴

b=-1

c=-4

∴所求的抛物线解析式为y=

x2-x-4，
即y=

（x-1）²-

，
∴顶点D的坐标为（1，-

），

（2）△EBC的形状为等腰三角形，
证明：
∵直线MN的函数解析式为y=-x，
∴ON是∠BOC的平分线，
∵B、C两点的坐标分别为（4，0），（0，-4），
∴CO=BO=4，
∴MN是BC的垂直平分线，
∴CE=BE，
即△ECB是等腰三角形，

（3）答：存在，
∵PF∥ED，
∴要使以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，只要使PF=ED，
∵点E是抛物线的对称轴和直线的交点，
∴E点的坐标为（1，-1），
∴ED=-1-（-

）=

，
∵点P是直线上的动点，
∴设P点的坐标为（k，-k），
则直线PF的函数解析式为x=k，
∵点F是抛物线和直线PF的交点，
∴F的坐标为（k，

k2-k-4），
∴PF=-k-(

k2-k-4)=-

k2+4，
∴-

k2+4=

，
∴k=±1，
当k=1时，点P的坐标为（1，-1），F的坐标为（1，

），
此时PF与ED重合，不存在以P、F、D、E为顶点的平行四边形，
当k=-1时，点P的坐标为（-1，1），F的坐标为（-1，-

），
此时，四边形PFDE是平行四边形．

点评：解此题的关键是检查对求抛物线的解析式的掌握（即已知抛物线上点的坐标求解析式），能利用点的坐标特点解决几何问题（判断三角形的形状）．突破点是利用平行四边形的性质求出P、F 的坐标，并进行分类讨论进一步求出答案．