Question

【题目】如图，已知直线y＝ax+b与双曲线y＝（x＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，点A与点B不重合，直线AB与x轴交于点P（x0，0），与y轴交于点C.

（1）若A、B两点坐标分别为（1，4），（4，y2），求点P的坐标；

（2）若b＝y1+1，x0＝6，且y1＝2y2，求A，B两点的坐标；

（3）若将（1）中的点A，B绕原点O顺时针旋转90°，A点对应的点为A′，B点的对应点为B′点，连接AB′，A′B′，动点M从A点出发沿线段AB′以每秒1个单位长度的速度向终点B′运动；动点N同时从B′点出发沿线段B′A′以每秒1个单位长度的速度向终点A′运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，试探究：是否存在使△MNB′为等腰直角三角形的t值，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）P（5，0）；（2）A（2，2），B（4，1）；（3）存在，t的值为8﹣8或16﹣8．

【解析】

（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y=求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；
（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出，，根据题意得出，，从而求得B（ y1），然后根据k=xy得出x1y1=y1，求得x1=2，代入，解得y1=2，即可求得A、B的坐标；
（3）如图2，根据旋转的性质得到B′（1，-4），求得AB′=8，求得AM=BN=t，B′M=8-t，①当∠B′N1M1=90°，②当∠B′M2N2=90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

（1）∵直线y=ax+b与双曲线y=（x＞0）交于A（1，4）
∴k=1×4=4，
∴y=，
∵B（4，y2）在反比例函数的图象上，
∴y2==1，
∴B（4，1），
∵直线y=ax+b经过A、B两点，
∴，解得，
∴直线为y=-x+5，
令y=0，则x=5，
∴P（5，0）；
（2）如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，

则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，
∴，
∵b=y1+1，y1=2y2，
∴，，
∴B（y1），∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，
∴x1y1=y1，
解得x1=2，
代入，解得y1=2，
∴A（2，2），B（4，1）；
（3）存在，

如图2，∵A、B两点坐标分别为（1，4），（4，1），将B绕原点O顺时针旋转90°，
∴B′（1，-4），
∴AB′=8，
由题意得：AM=BN=t，
∴B′M=8-t，
∵△MNB′为等腰直角三角形，
∴①当∠B′N1M1=90°，即B′M1=B′N1，
∴8-t=t，
解得：t=8-8；
②当∠B′M2N2=90°，即B′N2=B′M2，
∴t=（8-t），
解得：t=16-8；
综上所述，t的值为8-8或16-8．