题目内容

如图，平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，A点在X轴正半轴上，∠COA=60°，OA=10cm，OC=4cm，点P从C点出发沿CB方向，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿AO方向，以3cm/s的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求点C，B的坐标（结果用根号表示）
（2）从运动开始，经过多少时间，四边形OCPQ是平行四边形；
（3）在点P，Q运动的过程中，四边形OCPQ有可能成为直角梯形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由；
（4）在点P、Q运动过程中，四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．
分析：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，根据直角三角形的性质算出OE的长，再利用勾股定理即可求出CE的长，从而得到C点坐标；根据平行线间的距离相等可知CE=BF=2
3
，再证明Rt△COE≌Rt△BAF，从而得到AF的长，即可得到B点坐标；
（2）根据平行四边形的性质可知CP=OQ，设时间为x秒，表示出OQ、CP的长，可得到方程10-3x=x，解方程即可；
（3）设经过t秒钟，四边形OCPQ是直角梯形，根据四边形CEQP是矩形则有CP=EQ=t，EQ=OA-AQ-OE=10-2-3t，则t=10-2-3t，解方程即可；
（4）如果四边形OCPQ菱形，则CO=QO=CP=4cm，根据运动速度，算出运动时间，计算可发现不能成为菱形．
解答：解：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，
∵∠COA=60°，
∴∠1=30°，
∴OE=
1
2
CO=2cm，
在Rt△COE中，CE=
CO2-EO2
=
16-4
=2
3
，
∴C点坐标是（2，2
3
），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴CO=AB，CO∥AB，
∵CE⊥OA，过B作BF⊥OA，
∴CE=BF=2
3
（平行线之间的距离相等），
∴Rt△COE≌Rt△BAF，
∴AF=EO=2，
∴OF=OA+AF=12（cm），
∴B点坐标是（12，2
3
）；

（2）设从运动开始，经过x秒，四边形OCPQ是平行四边形，
10-3x=x，
解得：x=2.5，
故运动开始，经过2.5秒，四边形OCPQ是平行四边形；

（3）四边形OCPQ能成为直角梯形．
设经过t秒钟，四边形OCPQ是直角梯形，
如图所示，四边形CEQP是矩形则有CP=EQ，
t=10-2-3t，
解得：t=2，
故经过2秒钟，四边形OCPQ是直角梯形；

（4）不能成为菱形，
如果四边形OCPQ菱形，则CO=QO=CP=4cm，
∵OA=10cm，
∴AQ=10-4=6（cm），
则Q的运动时间是：6÷3=2（秒），
这时CP=2×1=2（cm）
∵CP≠4cm，
∴四边形OCPQ不能成为菱形．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，直角梯形的性质，菱形的性质，是一道综合题，关键是需要同学们熟练掌握各种特殊四边形的性质，并能熟练应用．
练习册系列答案
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6、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其它线段有（　　）
已知：如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6．OA、OB的长是精英家教网关于x的方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求cos∠ABC的值；
（2）若E是x轴正半轴上的一点，且S△AOE=
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，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似，同时说明理由；
（3）点M在平面直角坐标系中，点F在直线AB上，如果以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形，请直接写出F点坐标．
13、（Ⅰ）已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：BE=DF．
（Ⅱ）请写出使如图所示的四边形ABCD为平行四边形的条件（例如，填：AB∥CD且AD∥BC．在不添加辅助线的情况下，写出除上述条件外的另外四组条件，将答案直接写在下面的横线上．）
（1）：
∠DAB=∠DCB且∠ADC=∠ABC
；
（2）：
AB=CD且AD=BC
；
（3）：
OA=OC且OD=OB
；
（4）：
AB∥CD且∠DAB=∠DCB
．
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论不正确的是（　　）

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