Question

（2011•黔东南州）顺次连接一矩形场地ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，得到四边形EFGH，M为边EH的中点，点P为小明在对角线EG上走动的位置，若AB=10米，BC=10

3

米，当PM+PH的和为最小值时，EP的长为

10 3

3

m

．

Answer 1

分析：由点E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，得到FH与EG互相垂直平分，则四边形EFGH为菱形，H点与F点关于EG对称，连HF交EG于O点，连FM交EG于P′、连HP′，则P′H=P′F，即P′H+P′M=FM，根据两点之间线段最短得到当动点P运动到点P′的位置时，PM+PH的和为最小值．由AB=10，BC=10

3

得AE=5，AH=5

3

，根据勾股定理计算出EH=10，则EM=5，∠AHE=30°，∠EHF=60°，得到△EHF为等边三角形，于是有FM⊥EH，根据含30°的直角三角形三边的关系得到MP′=

3

3

EM=

5 3

3

，EP′=2MP′=

10 3

3

，由此得到答案．

解答：解：∵点E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴FH与EG互相垂直平分，
∴四边形EFGH为菱形，H点与F点关于EG对称，
连HF交EG于O点，连FM交EG于P′、连HP′，如图，
则P′H=P′F，即P′H+P′M=FM，
∴当动点P运动到点P′的位置时，PM+PH的和为最小值．
∵AB=10，BC=10

3

，
∴AE=5，AH=5

3

，
∴EH=

(5 3 )2+52

=10，
∴∠AHE=30°，
∴∠EHF=60°，
∴△EHF为等边三角形，
而M为EH的中点，
∴FM⊥EH，EM=5，
在Rt△EMP′中，∠MEP′=30°，
∴MP′=

3

3

EM=

5 3

3

，
∴EP′=2MP′=

10 3

3

，
∴当PM+PH的和为最小值时，EP的长为

10 3

3

m．
故答案为

10 3

3

m．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决．也考查了含30°的直角三角形三边的关系、菱形得性质与判定以及矩形的性质．