题目内容
【题目】如图①,直线y=x+4交于x轴于点A,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1,0).
(1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式;
(2)若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点,设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC,记S=S四边形MAOC﹣S△BOC,求S最大时点M的坐标及S的最大值;
(3)如图②,将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2,点A、B与(2)中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′,过点M′作M′E⊥x轴于点E,交直线A′C于点D,在x轴上是否存在点P,使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+4;(2)S有最大值为,此时,M(﹣,5);点P的坐标为(2,0)或(﹣,0).
【解析】
试题分析:(1)根据一次函数的解析式y=x+4可求出点A、C的坐标,再把A、B、C的坐标代入,利用待定系数法求二次函数的解析式;(2)由于M在抛物线F1上,所以可设M(a,﹣a2﹣a+4),分别计算S四边形MAOC和S△BOC,过点M作MD⊥x轴于点D,则S四边形MAOC的值等于△ADM的面积与梯形DOCM的面积之和,求得S四边形MAOC的值,再由S=S四边形MAOC﹣S△BOC表示出S与a的二次函数关系,根据二次函数的性质即可得S最大时点M的坐标及S的最大值;(3)由于不确定点P的具体位置,所以需要将点P的位置进行分类讨论,当点P在A′的右边时,此情况是不存在;当点P在A′的左边时,此时∠DA′P=∠CAB′,若以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似,则分为以下两种情况进行讨论:①;②,分别求得点P的坐标即可.
试题解析:(1)令y=0代入y=x+4,
∴x=﹣3,
A(﹣3,0),
令x=0,代入y=x+4,
∴y=4,
∴C(0,4),
设抛物线F1的解析式为:y=a(x+3)(x﹣1),
把C(0,4)代入上式得,a=﹣,
∴y=﹣x2﹣x+4,
(2)如图①,设点M(a,﹣a2﹣a+4)
其中﹣3<a<0
∵B(1,0),C(0,4),
∴OB=1,OC=4
∴S△BOC=OBOC=2,
过点M作MD⊥x轴于点D,
∴MD=﹣a2﹣a+4,AD=a+3,OD=﹣a,
∴S四边形MAOC=ADMD+(MD+OC)OD
=ADMD+ODMD+ODOC
=+
=+
=×3(﹣a2﹣a+4)+×4×(﹣a)
=﹣2a2﹣6a+6
∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC
=(﹣2a2﹣6a+6)﹣2
=﹣2a2﹣6a+4
=﹣2(a+)2+
∴当a=﹣时,
S有最大值,最大值为
此时,M(﹣,5);
(3)如图②,由题意知:M′(),B′(﹣1,0),A′(3,0)
∴AB′=2
设直线A′C的解析式为:y=kx+b,
把A′(3,0)和C(0,4)代入y=kx+b,
得:,
∴
∴y=﹣x+4,
令x=代入y=﹣x+4,
∴y=2
∴
由勾股定理分别可求得:AC=5,DA′=
设P(m,0)
当m<3时,
此时点P在A′的左边,
∴∠DA′P=∠CAB′,
当=时,△DA′P∽△CAB′,
此时, =(3﹣m),
解得:m=2,
∴P(2,0)
当=时,△DA′P∽△B′AC,
此时, =(3﹣m)
m=﹣,
∴P(﹣,0)
当m>3时,
此时,点P在A′右边,
由于∠CB′O≠∠DA′E,
∴∠AB′C≠∠DA′P
∴此情况,△DA′P与△B′AC不能相似,
综上所述,当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时,点P的坐标为(2,0)或(﹣,0).