题目内容

【题目】如图①,直线y=x+4交于x轴于点A,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1,0).

(1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式;

(2)若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点,设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC,记S=S四边形MAOC﹣S△BOC,求S最大时点M的坐标及S的最大值;

(3)如图②,将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2,点A、B与(2)中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′,过点M′作M′E⊥x轴于点E,交直线A′C于点D,在x轴上是否存在点P,使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x2x+4;(2)S有最大值为,此时,M(,5);点P的坐标为(2,0)或(,0).

【解析】

试题分析:(1)根据一次函数的解析式y=x+4可求出点A、C的坐标,再把A、B、C的坐标代入,利用待定系数法求二次函数的解析式;(2)由于M在抛物线F1上,所以可设M(a,a2a+4),分别计算S四边形MAOC和SBOC,过点M作MDx轴于点D,则S四边形MAOC的值等于ADM的面积与梯形DOCM的面积之和,求得S四边形MAOC的值,再由S=S四边形MAOCSBOC表示出S与a的二次函数关系,根据二次函数的性质即可得S最大时点M的坐标及S的最大值;(3)由于不确定点P的具体位置,所以需要将点P的位置进行分类讨论,当点P在A的右边时,此情况是不存在;当点P在A的左边时,此时DAP=CAB,若以A、D、P为顶点的三角形与ABC相似,则分为以下两种情况进行讨论:,分别求得点P的坐标即可.

试题解析:(1)令y=0代入y=x+4,

x=3,

A(3,0),

令x=0,代入y=x+4,

y=4,

C(0,4),

设抛物线F1的解析式为:y=a(x+3)(x1),

把C(0,4)代入上式得,a=

y=x2x+4,

(2)如图,设点M(a,a2a+4)

其中3<a<0

B(1,0),C(0,4),

OB=1,OC=4

SBOC=OBOC=2,

过点M作MDx轴于点D,

MD=a2a+4,AD=a+3,OD=a,

S四边形MAOC=ADMD+(MD+OC)OD

=ADMD+ODMD+ODOC

=+

=+

=×3(a2a+4)+×4×a)

=2a26a+6

S=S四边形MAOCSBOC

=(2a26a+6)2

=2a26a+4

=2(a+2+

当a=时,

S有最大值,最大值为

此时,M(,5);

(3)如图,由题意知:M),B1,0),A(3,0)

AB=2

设直线AC的解析式为:y=kx+b,

把A(3,0)和C(0,4)代入y=kx+b,

得:

y=x+4,

令x=代入y=x+4,

y=2

由勾股定理分别可求得:AC=5,DA=

设P(m,0)

当m<3时,

此时点P在A的左边,

∴∠DAP=CAB

=时,DAP∽△CAB

此时, =(3m),

解得:m=2,

P(2,0)

=时,DAP∽△BAC,

此时, =(3m)

m=

P(,0)

当m>3时,

此时,点P在A右边,

由于CBO≠∠DAE,

∴∠ABC≠∠DAP

此情况,DAP与BAC不能相似,

综上所述,当以A、D、P为顶点的三角形与ABC相似时,点P的坐标为(2,0)或(,0).

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