题目内容
【题目】如图,在矩形中,,分别在,上.
(1)若,.
①如图1,求证:;
②如图2,点为延长线上一点,的延长线交于,若,求证:;
(2)如图3,若为的中点,.则的值为 (结果用含的式子表示)
【答案】(1)①见解析;②见解析;(2)
【解析】
(1)①由“ASA”可证△ADE≌△BAF可得AE=BF;
②过点A作AF⊥HD交BC于点F,由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠HAF=∠AFG=∠DAF,可得AG=FG,即可得结论;
(2)过点E作EH⊥DF于H,连接EF,由角平分线的性质可得AE=EH=BE,由“HL”可证Rt△BEF≌Rt△HEF,可得BF=FH,由勾股定理可求解.
证明(1)①∵四边形ABCD是矩形,AD=AB,
∴四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠DAB=90°=∠ABC,
∴∠DAF+∠BAF=90°,
∵AF⊥DE,
∴∠DAF+∠ADE=90°,
∴∠ADE=∠BAF,且AD=AB,∠DAE=∠ABF=90°,
∴△ADE≌△BAF(ASA),
∴AE=BF;
②如图,过点A作AF⊥HD交BC于点F,
由(1)可知AE=BF,
∵AH=AD,AF⊥HD,
∴∠HAF=∠DAF.
∵AD∥BC,
∴∠DAF=∠AFG,
∴∠HAF=∠AFG,
∴AG=GF,
∴AG=GB+BF=GB+AE;
(3)如图,过点E作EH⊥DF于H,连接EF,
∵E为AB的中点,
∴AE=BE=AB,
∵∠ADE=∠EDF,EA⊥AD,EH⊥DF,
∴AE=EH,AD=DH=nAB,
∴BE=EH,EF=EF,
∴Rt△BEF≌Rt△HEF(HL),
∴BF=FH,
设BF=x=FH,则FC=BC-BF=nAB-x,
∵DF2=FC2+CD2,
∴(nAB+x)2=(nAB-x)2+AB2,
∴x==BF,
∴FC=AB,
∴=4n2-1.