题目内容

【题目】如图,在矩形中,分别在.

1)若.

①如图1,求证:

②如图2,点延长线上一点,的延长线交,若,求证:

2)如图3,若的中点,.的值为 (结果用含的式子表示)

【答案】1)①见解析;②见解析;(2

【解析】

1)①由“ASA”可证△ADE≌△BAF可得AE=BF

②过点AAFHDBC于点F,由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠HAF=AFG=DAF,可得AG=FG,即可得结论;

2)过点EEHDFH,连接EF,由角平分线的性质可得AE=EH=BE,由“HL”可证Rt△BEFRt△HEF,可得BF=FH,由勾股定理可求解.

证明(1)①∵四边形ABCD是矩形,AD=AB,

∴四边形ABCD是正方形,

AD=AB,∠DAB=90°=ABC

∴∠DAF+BAF=90°

AFDE

∴∠DAF+ADE=90°

∴∠ADE=BAF,且AD=AB,∠DAE=ABF=90°

∴△ADE≌△BAFASA),

AE=BF

②如图,过点AAFHDBC于点F

由(1)可知AE=BF

AH=ADAFHD

∴∠HAF=DAF.

ADBC

∴∠DAF=AFG

∴∠HAF=AFG

AG=GF

AG=GB+BF=GB+AE

3)如图,过点EEHDFH,连接EF

EAB的中点,

AE=BE=AB

∵∠ADE=EDFEAADEHDF

AE=EHAD=DH=nAB

BE=EHEF=EF

Rt△BEFRt△HEFHL),

BF=FH

BF=x=FH,则FC=BC-BF=nAB-x

DF2=FC2+CD2

∴(nAB+x2=nAB-x2+AB2

x==BF

FC=AB

=4n2-1.

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