题目内容
【题目】如图,⊙O的半径为1,A、P、B、C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC的形状:;
(2)试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系,并证明你的结论.
【答案】
(1)等边三角形
(2)解:在PC上截取PD=AP,如图,
又∵∠APC=60°,
∴△APD是等边三角形,
∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,即∠ADC=120°.
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°,
∴∠ADC=∠APB,
在△APB和△ADC中,
,
∴△APB≌△ADC(AAS),
∴BP=CD,
又∵PD=AP,
∴CP=BP+AP.
【解析】解:(1)△ABC是等边三角形. 证明如下:在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是 所对的圆周角,∠ABC与∠APC是 所对的圆周角,
∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,
又∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°,
∴△ABC为等边三角形;
所以答案是:等边三角形;
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆周角定理的相关知识,掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
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