题目内容

如图，已知一次函数 $数学公式$ 的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间用t（单位：秒）表示．
（1）求AB的长；
（2）当t为何值时，△ACD与△AOB相似并直接写出此时点C的坐标；
（3）△ACD的面积是否有最大值？若有，此时t为何值；若没有，请说明理由．

解：（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x=4；
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB= $\text{[math]}$ =5；

（2）依题意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO相似，
∴ $\text{[math]}$ ，
代入得：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：t= $\text{[math]}$ ，
若△ACD∽△AOB相似，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ ，
故C（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（3）∵AC=5-t，AD=t，而sin∠A= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AD边上的高= $\text{[math]}$ （5-t），
∴S_△ACD= $\text{[math]}$ ×AD× $\text{[math]}$ （5-t）= $\text{[math]}$ （5t-t²），
∴S_△ACD有最大值，此时t=2.5，
∵S_△ACD= $\text{[math]}$ （5t-t²）=- $\text{[math]}$ （t-2.5）²+ $\text{[math]}$ ，
∴当t=2.5时，S_△ACD有最大值．
分析：（1）首先容易求出A，B两点的坐标，然后求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求AB；
（2）先用t分别表示AC，AD的长度，再根据相似的性质可以列出关于t的方程，解方程就可以求出点C的坐标；
（3）用t表示△ACD的面积，然后利用二次函数求最大值．
点评：此题既考查了勾股定理的计算，也考查了相似三角形的性质，还有利用二次函数求最大值．