已知:抛物线y=ax2+bx+c.与x轴交于A.B两点.A．(1)求这条抛物线的解析式,(2)如图.以AB为直径作圆.与抛物线交于点D.与抛物线的对称轴交于点E.依次连接A.D.B.E.点Q为线段AB上一个动点.过点Q作QF⊥AE于F.QG⊥DB于G.请判断QFBE+QGAD是否为定值?若是.请求出此定值,若不是.请说明理由,的条件下.若点H是线段EQ上一点.过点H作MN⊥EQ. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），顶点C（1，-4），与x轴交于A、B两点，A（-1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，请判断

是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点H是线段EQ上一点，过点H作MN⊥EQ，MN分别与边AE、BE相交于M、N，（M与A、E不重合，N与E、B不重合），请判断

是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，

请说明理由．

分析：（1）可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将A点坐标代入，即可求得抛物线的解析式；
（2）根据两对相似三角形：△AQF、△ABE和△BGQ、△BDA得出的对应成比例线段，即可求出所求的代数式是否为定值；
（3）易证得△EMN∽△FQE，得

①，下面证

，需通过构建相似三角形求解；
过Q作QP⊥BE于P，则四边形FQPE是矩形，FE=QP②；已知E在AB的垂直平分线上，可得：△AEB是等腰Rt△，进一步可知△AFQ、△QEB也是等腰Rt△；易证得△FAQ∽△PQB，得

③，联立①②③即可证得所求的结论．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-4，（1分）
将A（-1，0）代入解析式得：0=a（-1-1）²-4，

∴a=1，
∵抛物线的解析式为y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3；（3分）

（2）是定值，

=1，（4分）
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵QF⊥AE，
∴QF∥BE，
∴△AQF∽△ABE，
∴

，
同理：

，
∴

AQ+QB

=1；（6分）

（3）∵直线EC为抛物线的对称轴，
∴EC垂直平分AB，
∴AE=EB，
∵∠AEB=90°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠EBA=45°，（7分）
过点Q作QP⊥BE于P，如图（8分）
由已知及作法可知，四边形FQPE是矩形，
∴QP=FE且QP∥FE，
在△AQF和△QBP中，
∵∠EAB=∠BQP=45°，
∴QP=BP=FE且△AQF∽△QBP，
∴

，
∴