Question

已知，正方形DEFG内接于△ABC中，且点E，F在BC上，点D，G分别在AB，AC上，

（1）如图①，若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠A=90°，S_△ADG=2，则S_△ABC=

18

．
（2）如图②，若△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，求正方形的边长．
（3）如图③，若△ABC是任意三角形，S_△ADG=1，S_△BDE=3，S_△FCG=1，则正方形的边长为

2

．
（4）如图④，若△ABC是任意三角形，求证：S正方形DEFG≤

1

2

S△ABC．

Answer 1

分析：（1）设正方形DEFG的边长为x，根据等腰直角三角形的性质BC边上的高等于

1

2

BC，然后根据△ADG和△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式求出x与BC的比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解；
（2）利用勾股定理列式求出BC，再根据三角形的面积求出BC边上的高，然后根据△ADG和△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式计算即可；
（3）设正方形DEFG的边长为x，△ADG边DG上的高为y，根据等底的三角形的面积的比等于高的比用y表示出BE、CF，然后根据△ADG和△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式求出x与y的关系，再根据△ADG的面积列式求出x，然后根据正方形的面积列式计算即可得解；
（4）设正方形DEFG的边长为x，△ABC边BC上的高为h，根据△ADG和△ABC相似，利用相似三角形对应高的比等于对应边的比列式整理得到x，然后放缩不等式得到x，再平方根据正方形的面积和三角形的面积公式即可得证．

解答：解：（1）设正方形DEFG的边长为x，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，
∴BC边上的高等于

1

2

BC，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

1 2 BC-x

1 2 BC

=

x

BC

，
整理得，BC=3x，
∴

x

BC

=

1

3

，
∵△ADG∽△ABC，
∴

SADG

S△ABC

=（

x

BC

）²，
即

2

S△ABC

=

1

9

，
解得S_△ABC=18；

（2）∵∠A=90°，AB=4，AC=3，
∴BC=

AB2+AC2

=

42+32

=5，
设△ABC边BC上的高为h，
则S_△ABC=

1

2

×5h=

1

2

×4×3，
解得h=

12

5

，
设正方形DEFG的边长为x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，

12 5 -x

12 5

=

x

5

，
解得x=

60

37

；

（3）设正方形DEFG的边长为x，△ADG边DG上的高为y，
∵S_△ADG=1，S_△BDE=3，S_△FCG=1，
∴BE=3y，CF=y，
∴BC=3y+x+y=x+4y，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

y

x+y

=

x

x+4y

，
整理得，x=2y，
∴S_△ADG=

1

2

xy=

1

2

2y•y=1，
解得y=1，
∴x=2，
即正方形的边长为2；

（4）证明：设正方形DEFG的边长为x，△ABC边BC上的高为h，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴

h-x

h

=

x

BC

，
∴x=

BC•h

BC+h

=

1

1 BC + 1 h

，
∵

1

BC

+

1

h

≥2

1 BC•h

（当且仅当BC=h时取等号），
∴x≤

BC•h

2

，
•x²≤

1

4

BC•h，
又∵正方形的面积=x²，△ABC的面积=

1

2

BC•h，
∴S_{正方形DEFG}≤

1

2

S_△ABC．

点评：本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比的性质，三角形的面积，（3）利用等底的三角形的面积的比等于对应高的比表示出BE、CF是解题的关键，（4）利用不等式放缩用BC、h表示出x是解题的关键．