题目内容
【题目】已知：
是等腰直角三角形，动点
在斜边
所在的直线上，以
为直角边作等腰直角三角形
，其中
，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点在线段上，且
，
，则：
①
长为
；的长为 ；
②猜想：
，
，
三者之间的数量关系为 ；
（2）如图②，若点在的延长线上，在（1）中所猜想的结论依然成立，请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点满足
，求
的值．（提示：请利用备用图进行探求）
【答案】（1）①
，
；②AP2+BP2=PQ2；（2）证明见详解；（3）
的值为
或
.
【解析】
（1）①在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长，再利用SAS证明△APC≌△BQC，得出BQ=AP=
，∠CBQ=∠A=45°，那么△PBQ为直角三角形，依据勾股定理求出PQ=
，即可得到PC；
②过点C作CD⊥AB，垂足为D，由△ACB为等腰直角三角形，可求得：CD=AD=DB，然后根据AP=DC-PD，PB=DC+PD，可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则可证明AP2+BP2=2PC2，在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，可得出AP2+BP2=PQ2的结论；
（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．
解：（1）如图①．连接BQ，
①△ABC是等腰直角三角形，AC=3，
∴AB=
，
∵PA=，
∴PB=
，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACP=∠BCQ，PC=CQ，
∴△APC≌△BQC（SAS）．
∴BQ=AP=，∠CBQ=∠A=45°．
∴△PBQ为直角三角形．
∴PQ=
．
∵
，
∴
；
故答案为：，；
②如图①．过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD-PD）2=（DC-PD）2=DC2-2DCPD+PD2，
PB2=（DB+PD）2=（DC+DP）2=CD2+2DCPD+PD2，
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，
∴AP2+BP2=2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2．
∴AP2+BP2=PQ2；
故答案为：AP2+BP2=PQ2；
（2）如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB．
∵AP2=（AD+PD）2=（DC+PD）2=CD2+2DCPD+PD2，
PB2=（DP-BD）2=（PD-DC）2=DC2-2DCPD+PD2，
∴AP2+BP2=2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2=DC2+PD2，
∴AP2+BP2=2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2=PQ2．
∴AP2+BP2=PQ2；
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
①点P位于点P1处时．
∵
，
∴P1A＝
AB＝
．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
，
∴
；
②当点P位于点P2处时．
∵
，
∴P2A＝
AB＝CD．
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
，
∴
；
综合上述，的值为：或.
