题目内容

(2010•东营)如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,点C在⊙O上,CA=CD,∠CDA=30°.
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系为
相切
相切

(2)若⊙O的半径为5,则点A到CD所在直线的距离为
7.5
7.5
分析:(1)连接OC,证明∠OCD=90°,从而判断CD与⊙O相切.易证∠A=30°,∠COD=60°.所以∠OCD=90°.得证;
(2)作AE⊥DC,交DC的延长线于E点.运用三角函数知识,在△OCD中求OD,从而知AD长度;在△ADE中求AE,得解.
解答:解:(1)∵△ACD是等腰三角形,∠D=30°.∴∠CAD=∠CDA=30°.      (1分)
连接OC.
∵AO=CO,∴△AOC是等腰三角形.                                    (2分)
∴∠CAO=∠ACO=30°,∴∠COD=60°.                                (3分)
在△COD中,
又∵∠CDO=30°,∴∠DCO=90°.                                    (4分)
∴CD是⊙O的切线,即直线CD与⊙O相切.                              (5分)
(2)过点A作AE⊥CD,垂足为E.                                      (6分)
在Rt△COD中,∵∠CDO=30°,∴OD=2OC=10.AD=AO+OD=15.              (7分)
在Rt△ADE中,∵∠EDA=30°,∴点A到CD边的距离为:AE=AD•sin30°=7.5.(9分)
点评:此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点,难度中等.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.
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