Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，点A的横坐标为﹣1，过点C（0，3）的直线y=﹣x+3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0＜t＜1．

（1）确定b，c的值；

（2）写出点B，Q，P的坐标（其中Q，P用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使△PQB为等腰三角形？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)b=,c=3;

(2)B（4,0）,P（4﹣4t,3t）,Q（4t,0）;

(3)当t=或或时,△PQB为等腰三角形．

【解析】

试题（1）将A、C的坐标代入抛物线中即可求得待定系数的值．

（2）根据抛物线的解析式可求得B点的坐标,即可求出OB,BC的长,在直角三角形BPH中,可根据BP的长和∠CBO三角函数求出PH,BH的长,进而可求出OH的长,也就求出了P点的坐标．Q点的坐标,可直接由直线CQ的解析式求得．

（3）本题要分情况讨论：

①PQ=PB,此时BH=QH=BQ,在（2）中已经求得了BH的长,BQ的长可根据B、Q点的坐标求得,据此可求出t的值．

②PB=BQ,那么BQ=BP=5t,由此可求出t的值．

③PQ=BQ,已经求得了BH的长,可表示出QH的长,然后在直角三角形PQH中,用BQ的表达式表示出PQ,即可用勾股定理求出t的值．

试题解析：（1）已知抛物线过A（﹣1,0）、C（0,3）,则有：

,

解得,

因此b=,c=3;

（2）令抛物线的解析式中y=0,则有﹣x2+x+3=0,

解得x=﹣1,x=4;

∴B（4,0）,OB=4,

因此BC=5,

在直角三角形OBC中,OB=4,OC=3,BC=5,

∴sin∠CBO=,cos∠CBO=,

在直角三角形BHP中,BP=5t,

因此PH=3t,BH=4t;

∴OH=OB﹣BH=4﹣4t,

因此P（4﹣4t,3t）．

令直线的解析式中y=0,则有0=﹣x+3,x=4t,

∴Q（4t,0）;

（3）存在t的值,有以下三种情况

①如图1,当PQ=PB时,

∵PH⊥OB,则QH=HB,

∴4﹣4t﹣4t=4t,

∴t=,

②当PB=QB得4﹣4t=5t,

∴t=,

③当PQ=QB时,在Rt△PHQ中有QH2+PH2=PQ2,

∴（8t﹣4）2+（3t）2=（4﹣4t）2,

∴57t2﹣32t=0,

∴t=,t=0（舍去）,

又∵0＜t＜1,

∴当t=或或时,△PQB为等腰三角形．