Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2﹣2 ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．

（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
（3）证明：当直线l绕点D旋转时， + 均为定值，并求出该定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C（0，3）．

∴﹣9a=3，解得：a=﹣ ．

令y=0得：ax2﹣2 x﹣9a=0，

∵a≠0，

∴x2﹣2 x﹣9=0，解得：x=﹣ 或x=3 ．

∴点A的坐标为（﹣ ，0），B（3 ，0）．

∴抛物线的对称轴为x=

（2）

解：∵OA= ，OC=3，

∴tan∠CAO= ，

∴∠CAO=60°．

∵AE为∠BAC的平分线，

∴∠DAO=30°．

∴DO= AO=1．

∴点D的坐标为（0，1）

设点P的坐标为（ ，a）．

依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．

当AD=PA时，4=12+a2，方程无解．

当AD=DP时，4=3+（a﹣1）2，解得a=2或a=0，

∴点P的坐标为（ ，2）或（ ，0）．

当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4．

∴点P的坐标为（ ，﹣4）．

综上所述，点P的坐标为（ ，2）或（ ，0）或（ ，﹣4）

（3）

解：设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：﹣ m+3=0，解得：m= ，

∴直线AC的解析式为y= x+3．

设直线MN的解析式为y=kx+1．

把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=﹣ ，

∴点N的坐标为（﹣ ，0）．

∴AN=﹣ + = ．

将y= x+3与y=kx+1联立解得：x= ．

∴点M的横坐标为 ．

过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG= + ．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，

∴AM=2AG= +2 = ．

∴ + = + = + = = =

【解析】（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（ ，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小，以及对特殊角的三角函数值的理解，了解分母口诀：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，分子口诀：“123，321，三九二十七”．