Question

（2013•沐川县二模）如图，点A₁，A₂，A₃，A₄，…，A_n在射线OA上，点B₁，B₂，B₃，…，B_n-1在射线OB上，且A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃∥…∥A_n-1B_n-1，A₂B₁∥A₃B₂∥A₄B₃∥…∥A_nB_n-1，△A₁A₂B₁，△A₂A₃B₂，…，△A_n-1A_nB_n-1为阴影三角形，若△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面积分别为1、4，则△A₁A₂B₁的面积为

1

2

；面积小于2011的阴影三角形共有

6

个．

Answer 1

分析：根据面积比等于相似比的平方，可得出

A2B1

A3B2

=

1

2

，

A2B2

A3B3

=

1

2

，再由平行线的性质可得出

A2B1

A3B2

=

OB1

OB2

=

1

2

，

A2B2

A3B3

=

OB2

OB3

=

1

2

，从而可推出相邻两个阴影部分的相似比为1：2，面积比为1：4，先利用等底三角形的面积之比等于高之比可求出第一个及第二个阴影部分的面积，再由相似比为1：2可求出面积小于2011的阴影部分的个数．

解答：解：由题意得，△A₂B₁B₂∽△A₃B₂B₃，
∴

A2B1

A3B2

=

S△A2B1B2 S△A3B2B3

=

1

2

，

A2B2

A3B3

=

S△A2B1B2 S△A3B2B3

=

1

2

，
又∵A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，
∴

A2B1

A3B2

=

OB1

OB2

=

OA1

OA2

=

1

2

，

A2B2

A3B3

=

OB2

OB3

=

1

2

，
∴OA₁=A₁A₂，B₁B₂=

1

2

B₂B₃
继而可得出规律：A₁A₂=

1

2

A₂A₃=

1

4

A₃A₄…；B₁B₂=

1

2

B₂B₃=

1

4

B₃B₄…
又△A₂B₁B₂，△A₃B₂B₃的面积分别为1、4，
∴S_△A1B1A2=

1

2

，S_△A2B2A3=2，
继而可推出S_△A3B3A4=8，S_△A，4B4A5=32，S_△A5B5A6=128，S_△A6B6A7=512，S_△A7B7A8=2048，
故可得小于2011的阴影三角形的有：△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄，△A₄B₄A₅，△A₅B₅A₆，△A₆B₆A₇，共6个．
故答案是：

1

2

；6．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质及平行线的性质，解答本题的关键是掌握相似比等于面积比的平方，及平行线分线段成比例，难度较大，注意仔细观察图形，得出规律．