Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+5x+4的顶点为M，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）求抛物线y=x2+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；

（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M1,与x轴交于A1、B1两点，与y轴交于C1点，在以A、B、C、M、A1、B1、C1、M1这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积。

Answer 1

【答案】（1）A（-4，0），B（-1，0），C（0，4）．（2）y=-x2+5x-4．（3）18.

【解析】

试题分析：（1）令y=0，求出x的值；令x=0，求出y，即可解答；

（2）先求出A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，-4），再代入解析式，即可解答；

（3）取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，由此判定四边形AMA′M′为平行四边形，又知AA′与MM′不垂直，从而平行四边形AMA′M′不是菱形，过点M作MD⊥x轴于点D，求出抛物线的顶点坐标M，根据S平行四边形AMA′M′=2S△AMA′，即可解答．

试题解析：（1）令y=0，得x2+5x+4=0，

∴x1=-4，x2=-1，

令x=0，得y=4，

∴A（-4，0），B（-1，0），C（0，4）．

（2）∵A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，-4），

∴所求抛物线的函数表达式为y=ax2+bx-4，

将（4，0），（1，0）代入上式，得

解得：，

∴y=-x2+5x-4．

（3）如图，取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，

由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，

∴四边形AMA′M′为平行四边形，

又知AA′与MM′不垂直，

∴平行四边形AMA′M′不是菱形，

过点M作MD⊥x轴于点D，

∵y=x2+5x+4=(x+)2-，

∴M（-，-），

又∵A（-4，0），A′（4，0）

∴AA′=8，MD=，

∴S平行四边形AMA′M′=2S△AMA′=2××8×=18