题目内容

通过观察，发现方程不难求得方程： $数学公式$ 的解是 $数学公式$ ； $数学公式$ 的解是 $数学公式$ ； $数学公式$ 的解是 $数学公式$ ；…
（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程 $数学公式$ 的解是______；
（2）试验证：当 $数学公式$ 都是方程 $数学公式$ 的解；
（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程 $数学公式$ ．

解：（1）x₁=a，x₂= $\text{[math]}$ ；

（2）把x=a-1代入方程，左边=a-1+ $\text{[math]}$ ，右边=a-1+ $\text{[math]}$ ，左边=右边，所以x=a-1是方程 $\text{[math]}$ 的解；
把x= $\text{[math]}$ 代入方程，左边= $\text{[math]}$ +a-1，右边=a-1+ $\text{[math]}$ ，左边=右边，所以x= $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的解；

（3）方程 $\text{[math]}$ 变形得， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =a+ $\text{[math]}$ ，
x+ $\text{[math]}$ =a+ $\text{[math]}$ ，
∴x-1+ $\text{[math]}$ =a-1+ $\text{[math]}$ ，
∴x-1=a-1或x-1= $\text{[math]}$ ，
∴x₁=a，x₂= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据给的具体方程的解得特点易得到方程 $\text{[math]}$ 的解是x₁=a，x₂= $\text{[math]}$ ；
（2）把x=a和x= $\text{[math]}$ 分别代入方程左边，易得到左右两边相等，根据分式方程的解即可得到 $\text{[math]}$ 都是方程 $\text{[math]}$ 的解；
（3）把方程 $\text{[math]}$ 变形得到 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =a+ $\text{[math]}$ ，x+ $\text{[math]}$ =a+ $\text{[math]}$ ，得到具有（1）中方程的特点的形式x-1+ $\text{[math]}$ =a-1+ $\text{[math]}$ ，于是有x-1=a-1或x-1= $\text{[math]}$ ，分别解即可得到原方程的解．
点评：本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解．也考查了从特殊到一般的探究规律的方法以及代数式的变形能力．