Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．
（1）求证：DF=AE；
（2）当AB=2时，求BE2的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连接CF，

在Rt△CDF和Rt△CEF中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），

∴DF=EF，

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠EAF=45°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴AE=EF，

∴DF=AE

（2）解：∵AB=2，

∴AC= AB=2 ，

∵CE=CD，

∴AE=2 ﹣2，

过点E作EH⊥AB于H，

则△AEH是等腰直角三角形，

∴EH=AH= AE= ×（2 ﹣2）=2﹣ ，

∴BH=2﹣（2﹣ ）= ，

在Rt△BEH中，BE2=BH2+EH2=（ ）2+（2﹣ ）2=8﹣4 ．

【解析】（1）连接CF，根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=EF，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF，然后等量代换即可得证；（2）根据正方形的对角线等于边长的 倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH= AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【考点精析】本题主要考查了角平分线的性质定理和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．