题目内容
如图,已知直线y=
x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B,点C从O点出发沿射线OA以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时点D从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向B点匀速运动,当点D到达B点时C、D都停止运动.点E是CD的中点,直线EF⊥CD交y轴于点F,点E′与E点关于y轴对称.点C、D的运动时间为t(秒).
(1)当t=1时,AC=
(2)设四边形BDCO的面积为S,当0<t<3时,求S与t的函数关系式;
(3)当直线EF与△AOB的一边垂直时,求t的值;
(4)当△EFE′为等腰直角三角形时,直接写出t的值.
4 |
3 |
(1)当t=1时,AC=
2
2
,点D的坐标为(-
,
)
12 |
5 |
4 |
5 |
(-
,
)
;12 |
5 |
4 |
5 |
(2)设四边形BDCO的面积为S,当0<t<3时,求S与t的函数关系式;
(3)当直线EF与△AOB的一边垂直时,求t的值;
(4)当△EFE′为等腰直角三角形时,直接写出t的值.
分析:(1)过D作DH⊥AC于H,求出A、B的坐标,求出AB,求出AH,DH,即可求出答案.
(2)求出AH、DH,根据三角形面积公式分别求出△ABO和△ADC面积,即可得出答案.
(3)分为两种情况:①EF⊥OB,
=cos∠BAO,代入求出即可;②EF⊥AB,C点和A点重合,求出即可.
(4)①当0<t<
,且且重叠部分为等腰梯形PEQM时,过D作DH⊥AC于H,则△DHC是等腰直角三角形,根据DH=HC,代入得出
t=3-t-
t即可;②当
<t<5,且重叠部分为等腰梯形EHNK时,连接DHDH,求出DH=
t,CH=t-(3-
t),得出方程,求出即可.
(2)求出AH、DH,根据三角形面积公式分别求出△ABO和△ADC面积,即可得出答案.
(3)分为两种情况:①EF⊥OB,
AC |
AD |
(4)①当0<t<
15 |
8 |
4 |
5 |
3 |
5 |
15 |
8 |
4 |
5 |
3 |
5 |
解答:解:(1)如图1,过D作DH⊥AC于H,
∵直线y=
x+4与x轴、y轴分别相交于点A,A、B,
∴A((-3,0),B(0,4),
∴AO=3,BO=4,
∴AB=
=
=5,
当0≤t≤3时,如图1,
∵CO=t,AD=t,
∴AC=3-t,DH=AD•sin∠BAO=
t,AH=ADcos∠BAO=
t,
当t=1时,AC=3-1=2,
点D的坐标为(-
,
);
(2)∵AO=3,BO=4,AB=5
∴sin∠BAO=
=
,cos∠BAO=
=
过D作DH⊥AC于H,
当0≤tt≤3时,如图1,
∵CO=t,AD=t,
∴AC=3-t,DH=AD•sin∠BAO=
t,
∴S=S△ABO-S△ADC=
×3×4-
•(3-t)•
t,
S=
t2-
t+6(0<t<3).
(3)如图2,当EF⊥BO时,
∵EF⊥CD,
∴CD∥BO,
∴∠ACD=90°,
在Rt△ADC中,
=cos∠BAO,
∴
=
,
t=
,
当EF⊥AB时,如图3,
∵EF⊥CD,
∴直线CD和直线AB重合,
∴C点和A点重合,
∴t=3.
(4)①如图4,
当0<t<
,且且重叠部分为等腰梯形PEQM时,
则∠PEQ=∠MQE,
∵菱形CDMN,
∴CD∥MN,
∴∠MQE=∠CEQ,
∵EF⊥CD,
即∠CEF=90°,
∴∠CEQ=45°,
∴∠ACD=∠CEQ=45°,
过D作DH⊥AC于H,则△DHC是等腰直角三角形,
∴DH=HC,
∴
t=3-t-
t,
∴t=
;
②如图5,
当
<t<5,且重叠部分为等腰梯形EHNK时,
同理可得∠CHE=45°,
连接DHDH,
∵EF垂直平分CD,
∴CH=DH,∠DHE=∠CHE=45°,
∴∠DHC=90°,
∴DH=
t,
而CH=CO-HO=CO-(AO-AH)=t-(3-
t),
∴t-(3-
t)=
t,
∴t=
.
∵直线y=
4 |
3 |
∴A((-3,0),B(0,4),
∴AO=3,BO=4,
∴AB=
AO2+BO2 |
32+42 |
当0≤t≤3时,如图1,
∵CO=t,AD=t,
∴AC=3-t,DH=AD•sin∠BAO=
4 |
5 |
3 |
5 |
当t=1时,AC=3-1=2,
点D的坐标为(-
12 |
5 |
4 |
5 |
(2)∵AO=3,BO=4,AB=5
∴sin∠BAO=
BO |
AB |
4 |
5 |
AO |
AB |
3 |
5 |
过D作DH⊥AC于H,
当0≤tt≤3时,如图1,
∵CO=t,AD=t,
∴AC=3-t,DH=AD•sin∠BAO=
4 |
5 |
∴S=S△ABO-S△ADC=
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
5 |
S=
2 |
5 |
6 |
5 |
(3)如图2,当EF⊥BO时,
∵EF⊥CD,
∴CD∥BO,
∴∠ACD=90°,
在Rt△ADC中,
AC |
AD |
∴
3-t |
t |
3 |
5 |
t=
15 |
8 |
当EF⊥AB时,如图3,
∵EF⊥CD,
∴直线CD和直线AB重合,
∴C点和A点重合,
∴t=3.
(4)①如图4,
当0<t<
15 |
8 |
则∠PEQ=∠MQE,
∵菱形CDMN,
∴CD∥MN,
∴∠MQE=∠CEQ,
∵EF⊥CD,
即∠CEF=90°,
∴∠CEQ=45°,
∴∠ACD=∠CEQ=45°,
过D作DH⊥AC于H,则△DHC是等腰直角三角形,
∴DH=HC,
∴
4 |
5 |
3 |
5 |
∴t=
5 |
4 |
②如图5,
当
15 |
8 |
同理可得∠CHE=45°,
连接DHDH,
∵EF垂直平分CD,
∴CH=DH,∠DHE=∠CHE=45°,
∴∠DHC=90°,
∴DH=
4 |
5 |
而CH=CO-HO=CO-(AO-AH)=t-(3-
3 |
5 |
∴t-(3-
3 |
5 |
4 |
5 |
∴t=
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4 |
点评:本题考查了解一元一次方程,一次函数的图象上点的坐标特征,等腰三角形的性质,等腰直角三角形的性质,线段垂直平分线性质,菱形的性质的应用,题目比较好,但是难度偏大.
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