Question

如图，将OA=8，AB=6的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M，N以每秒1个单位的速度分别从点A，C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为

（8，6）

；用含t的式子表示点P的坐标为

（t，

3

4

t）

；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜8），并求当t为何值时，S有最大值？若有，求出这个最大值；
（3）试探究：在上述运动过程中，是否存在某一个时刻，△OPM是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据OA=8，AB=6的矩形OABC，得出B点坐标即可，再利用平行线的性质得出P点坐标即可；
（2）利用PG以及OM的长表示出△OMP的面积即可得出答案；
（3）当OP=PM时，有8-t=2t，当OP=OM时，有8-t=

5

4

t，当OM=PM时，有2×

4

5

(8-t)=

5

4

t，分别求出即可．

解答：解：（1）延长NP到OA于一点G，
∵NP⊥BC，
∴PG⊥AO，
∵OA=8，AB=6，
∴

PG

GO

=

AB

AO

=

6

8

=

3

4

，
∵CN=t，
∴PG=

3

4

t，
∴B（8，6），P（t，

3

4

t）；


（2）∵PG=

3

4

t，OM=8-t，
∴S=

1

2

(8-t)×

3

4

t=-

3

8

t2+3t（0＜t＜8），
当t=4时，S有最大值，最大值为6．

（3）当OP=PM时，有8-t=2t，
解得：t=

8

3

，∴M（

16

3

，0）；
当OP=OM时，有8-t=

5

4

t，
解得：t=

32

9

，∴M（

40

9

，0）；
当OM=PM时，有2×

4

5

(8-t)=

5

4

t，
解得：t=

256

57

，∴M（

200

57

，0）．
综上所述，M的坐标为（

16

3

，0）或（

40

9

，0）或（

200

57

，0）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行线的性质和等腰三角形的性质等知识，根据已知进行分类讨论得出M点的坐标是解题关键．