Question

已知：如图，△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以点O为圆心，OB为半径的圆切AC于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）若AD=2，DC=3，求⊙O的半径；
（3）若点D关于AB的对称点为D′，试探究当点D满足什么条件时，四边形DD′BC为菱形．

Answer 1

分析：（1）首先证得CD是圆的切线，根据切线长定理，即可判断；
（2）勾股定理得AB的长，然后证明△ADO∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（3）易证四边形DD′BC是平行四边形，再加上条件：点D为AC中点，则四边形DD′BC为菱形．

解答：解：（1）证明：∵∠B=90°，且OB为⊙O的半径，
∴CB切⊙O于点B
∵CD切⊙O于点D
∴CD=CB（1分）

（2）连接OD（如图1），
由（1）得：BC=CD=3．
在Rt△ABC中，AC=AD+CD=2+3=5
由勾股定理得：AB=4．
∵AC切⊙O于点D，
∴AC⊥OD于点D．
∴∠ADO=∠ABC=90°．
∵∠A=∠A
∴△ADO∽△ABC
∴

AD

AB

=

OD

BC

即

2

4

=

OD

3

∴OD=

3

2

（3分）
∴⊙O的半径为

3

2

．

（3）结论：当点D为AC中点时，四边形DD′BC为菱形．（4分）
∵AB经过圆心O，点D关于AB的对称点为D′，
∴过点D作DD′⊥AB（如图2），
，交AB于点M，交⊙O于点D′
∴DM=D′M=

1

2

DD′，∠AMD=∠B=90°．
∴DD′∥BC．
∴△AMD∽△ABC
∴

DM

BC

=

AD

AC

=

1

2

，∴DM=

1

2

BC
∴BC⊥DD′
∴四边形DD′BC是平行四边形．
由（1）知BC=CD
∴四边形DD′BC为菱形．（5分）

点评：本题主要考查了菱形的判定，并且应用了相似三角形的判定与性质，是一个难度较大的题目．